解析几何与不等式知识的融合

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不等式在解析几何中的应用主要体现在几何和代数两个方面，几何上可用不等式判断点、直线与曲线的位置关系；代数上可作为一种求最值、范围时的工具（类似函数）.

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（1）掌握点与直线、点与二次曲线的位置关系的判断方法. 如点（x0，y0）在直线y=kx+b的上方？圳y0>kx0+b；点（x0，y0）在椭圆■+■=1内？圳■+■<1；判别式Δ>0？圯直线与二次曲线有两个相异交点等.

（2）求目标函数最值、范围问题时，将目标函数构造为均值不等式模型是常用的变形手段. 如将目标函数写成f（x）+■（f（x）>0，a>0），f（x）·（a-f（x））（a>0，07ksl/3MV3y3LjpaUPjp0eg==等形式.

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■ 如图1，已知抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两点，问：是否存在这样的k使得抛物线C上总存在点Q（x0，y0）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.

破解思路 本题是解析几何中常见的探索（存在）性问题，解决的方法是先假设满足条件的点Q（x0，y0）存在，然后建立关于x0，y0的方程（组），若方程有解则存在，否则就不存在.

经典答案 由已知，假设存在点Q■，y0（y0∈R）满足条件，设点A■，y1，B■，y■，则kQA·kQB=-1（显然QA，QB的斜率均存在），代入坐标得■·■=-1，即y■y■+y■（y■+y■）+y■■+16=0 ①.

易知M（-1，0），设直线l的方程为x=my-1（m∈R），代入抛物线C并消去x得y2-4my+4=0，由题意知直线l与抛物线C有两个相异交点，所以判别式Δ1=16m2-16>0，即m2>1 ②.

将y■+y■=4m，y■y■=4代入①得y■■+4my■+20=0 ③. 又Q■，y0点存在，所以方程③有实数解，故其判别式Δ2=16m2-80≥0，即m2≥5④.

由②④得m2≥5，又直线l的斜率k=■，所以可得：当k∈-■，0∪0，■时，抛物线C上总存在Q点满足条件.

■ 如图2，已知P为抛物线C：y=■x2-2上的动点，l为C在P点处的切线，O为坐标原点，求O到l距离的最小值.

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图2

破解思路 设出P点的坐标，将点O到切线l的距离表示为关于P点坐标的目标函数，然后求其最值.

经典答案 由题意设P（x0，■x■■-2）（x0∈R），原点O到l的距离为d. 则曲线C在点P处切线l的斜率k=y′■= ■x0，所以l的方程为y-■x■■+2=■x0（x-x0），即2x0x-4y-x■■-8=0. 所以d=■=■■+■≥2，显然当x■■=0，即x0=0时取等号，所以O到l距离的最小值为2.

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1. 已知F1，F2分别为双曲线■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若■的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A. （1，+∞）B. （1，2]

C. （1，■]D. （1，3]

2. 已知椭圆■+■=1（a>b>0），P（x，y），Q（x′，y′）是该椭圆上的两点，有下列四个结论：

①a2+b2≥（x+y）2；②■+■≥■+■■；③■+■≥4；④■+■≤1. 其中正确的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个

C. 3个 D. 4个