解析几何与向量知识的融合

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向量因兼具数与形的双重特征，因此它既是几何关系的转译工具，也是一种运算工具. 它在解析几何中的运用主要体现在将几何关系以其独有的“语言”进行表述；另外，因向量具有坐标形式及其自身的运算法则（如加法、减法、数量积），使得向量在解决有关长度、角度等问题时具有得天独厚的优势，历年高考试题中关于这一点均有体现.

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对于经向量“包装”的表述形式，解决办法是去除其包装，还原问题的几何本质；对于涉及垂直、共线、角平分线、距离等问题时可考虑用向量工具来帮忙解决.

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■ 如图1，已知抛物线C的对称轴为x轴，且过点A（4，4），F为其焦点，E为点A在x轴上的射影.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）求∠FAE的角平分线所在的直线l的方程.

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图1

破解思路 （1）由已知设抛物线的标准方程，求出参数p，代回即可.

（2）本题有多种解法，但利用向量工具可优化求解的过程.

经典答案 （1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0），代入A（4，4），得2p=4，所以求得抛物线C的方程为y2=4x.

（2）（方法一：向量夹角公式）设G（x0，0），■=（-3，-4），■=（0，-4），■=（x0-4，-4），则由cos∠FAG=cos∠EAG，得■=■，代入解得x0=■，故∠FAE的角平分线所在直线的方程为3x-y-8=0.

（方法二：直线方向向量）如图2，设射线AF的方向向量为e1=■=-■，-■，射线AE的方向向量为e2=■=（0，-1），所以射线AG的方向向量为e=e1+e2=-■，-■. 所以直线AG的斜率为k=■=3，故∠FAE的角平分线所在直线的方程为3x-y-8=0.

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图2

■ 如图3，已知点F（a，0）（a>0），动点M，P分别在x，y轴上运动，且■·■=0，动点N满足■+■=0.

（1）求动点N的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线l（不垂直于x轴）与曲线C交于A，B两点，K是F关于原点的对称点，求证：点K在以AB为直径的圆外.

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图3

破解思路 （1）将向量的表述形式“翻译”成几何关系（如题中的■·■=0，■+■=0分别表示垂直、共线几何关系）.

（2）将几何关系用向量“语言”进行转述，利用向量的“特长”优化代数的解题进程（如本题“点K在以AB为直径的圆外”可表述为“■·■>0”），其中将点及向量进行“坐标化”是解题中必不可少的两个步骤.

经典答案 （1）因为■+■=0，所以点P为MN的中点. 设动点N（x，y），则由题意得M（-x，0），P0，■. 由■·■=0得-x，-■·a，-■=0，整理得y2=4ax（a>0），即为所求动点N的轨迹C的方程.

（2）设直线l：x=my+a（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则■=（x1+a，y1），■=（x2+a，y2），■·■=（1+m2）y1y2+2am（y1+y2）+4a2 ①.

联立x=my+a，y2=4ax消去x得y2-4amy-4a2=0，所以y1+y2=4am，y1y2=-4a2，代入①得■·■=4a2m2>0. 所以点K在以AB为直径的圆外.

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1. 设直线x=2与双曲线C：■-y2=1的渐近线相交于点E1，E2，O为坐标原点，任取双曲线C上的点P，若■=a■+b■（a，b∈R），则（ ）

A. 0

C. a2+b2≥1D. a2+b2≥■

2. 已知椭圆■+■=1和点P（4，1），过点P作直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1>x2）两点，在线段AB上取一点Q，使■=-■，求Q点的轨迹方程.