折叠问题

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折叠问题是高考经常考查的内容之一，主要考查空间几何体中线线、线面、面面的位置关系，空间角、空间距离的计算，空间几何体的面积与体积计算.在高考中一般以解答题的形式出现，有一定难度.

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解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较. 对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题.

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■ 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°. 点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O. 沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

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图1

（1）求证：BD⊥平面POA.

（2）当PB取得最小值时，请解答以下问题：

（i）求四棱锥P-BDEF的体积；

（ii）若点Q满足■=λ■（λ>0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于■，并说明理由.

破解思路 （1）折叠问题要注意翻折前后位置关系的变化，同时还要找出翻折前后不变的位置关系作为解题基础. 此题中翻折前CO⊥EF，翻折后变成了PO⊥EF，从而依据两平面垂直的性质定理“两平面垂直，一个平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面”，得到PO⊥平面ABFED，自然就有PO⊥BD，翻折前后都有BD⊥AO. 问题很快得到了解决.

（2）“当PB取得最小值时”就是要建立PB的函数关系式确定点O的位置，问题中不难发现OA，OF，OP三直线两两垂直，因此建立空间直角坐标系利用空间向量从而避免作辅助线的麻烦是不错的选择.

经典答案 （1）证明：因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC，所以BD⊥AO.

因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.？摇

因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO？奂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.？摇

因为BD？奂平面ABFED，所以PO⊥BD.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

因为AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA.

（2）如图2，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz.

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图2

（i）设AO∩BD=H. 因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，故BD=4，HB=2，HC=2■.

又设PO=x，则OH=2■-x，OA=4■-x，其中0

所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2■-x，2，0），故■=■-■=（2■-x，2，-x），所以■=■=■，当x=■时，PBmin=■. 此时PO=■，OH=■.

由（1）知，PO⊥平面BFED，所以V四棱锥P-BFED=■·S■·PO=■·■×42-■×2■×■=3.

（ii）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=■，则可得A（3■，0，0），B（■，2，0），D（■，-2，0），P（0，0，■）.

所以■=（a-3■，0，c），■=（-a，0，■-c），因为■=λ■，所以a-3■=-λa，c=■λ-λc？圯a=■，c=■.所以Q■，0，■，所以■=■，0，■.

设平面PBD的法向量为n=（x，y，z），则n·■=0，n·■=0. 因为■=（■，2，-■），■=（0，-4，0），所以■x+2y-■z=0，-4y=0.取x=1，解得y=0，z=1，所以n=（1，0，1）.

设直线OQ与平面PBD所成角为θ，则sinθ=cos〈■，n〉=■=■=■=■■=■■.

又因为λ>0，所以sinθ>■. 因为θ∈0，■，所以θ>■.

因此直线OQ与平面E所成的角大于■，即结论成立.

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如图3，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E为AB上一点，且3AE=3DC=AB=3■，DE=3，将△AED沿DE折起到△A1ED的位置，使得平面A1ED与平面DEBC所成的二面角为θ.

（1）求证：DE⊥A1B；

（2）当θ∈■，■时，求平面A1DC与平面A1EB所成二面角的值的取值范围.

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图3