空间角

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空间角常指线线角、线面角、二面角，是描述空间元素之间关系的重要参数，也是年年高考的必考内容. 此类考题往往以多面体或旋转体为依托，在选择题、填空题、解答题中均会出现，需用到方程、三角、平几等知识.

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运用几何推理求空间角的一般步骤为：一作、二证、三算.

求异面直线所成的角：①平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条为相交直线；②求值：作出相应的三角形，求解三角形；③注意：当求出的角为钝角时，应取它的补角作为所求的两条异面直线所成的角.

求直线与平面所成的角：①作垂直：过直线上一个点向平面引垂线；②连线：连结垂足与直线和平面的交点，所得直线与已知直线所成的角即为直线与平面所成的角；③求解：在所成的直角三角形中求之.

二面角的求法：①转化为平面角求之；②面积射影法：利用面积射影公式S射=S原·cosθ，其中θ为平面角的大小.对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法.

在具体操作时，平移（找平行线）异面直线使之相交是求异面直线所成角的主要技巧；利用平面垂线找到线面角、面面角是处理线面角和面面角的重要技巧.

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■ （1）如图1，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，过顶点A1作底面ABC的垂线，若垂足为BC的中点，则异面直线CC1与AB所成的角的余弦值为_______.

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图1

（2）如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点，则直线CD与平面ADMN所成的角的正弦值为（ ）

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图2

A. ■ B. ■

C. ■ D. ■

破解思路 对于涉及空间角的选择题、填空题，由于计算量的限制一般不宜用向量坐标法处理. 本例题（1）求线线角可直接采用平移法，构成三角形后再通过余弦定理求解. 题（2）求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常要用到面面垂直的性质定理，所以要进行适当的线面转换；若线面角确实不太好作出，还可通过等积法求点到面的距离，再由直角三角形解出.

经典答案 （1）不妨设该几何体的边长为2，则可求得点A1到底面ABC的距离为1，所以A1B=■；又因为异面直线CC1与AB所成的角就是∠A1AB，所以由余弦定理可知cos∠A1AB=■=■=■.

（2）PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD. 又∠BAD=90°，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面PAB，所以PB⊥AD.△PAB为等腰直角三角形，且N为PB的中点，所以PB⊥AN，所以PB⊥平面ADMN. 取AD的中点G，连结BG，NG，则BG∥CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等. 在Rt△BGN中，sin∠BGN=■=■，所以选B.

■ 如图3，在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点.

（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；

（2）求证：PA⊥平面CDM；

（3）求二面角D-MC-B的余弦值.

破解思路 本题是一道常规的立几考题.

第（1）问较容易，可由面面垂直的基本知识，作出垂直于底面的垂线，从而得出直线PA与底面ABCD所成角.

第（2）问要证直线PA与平面CDM垂直，只要证线与面上两相交直线垂直，其中PA⊥CD易证，另一线线垂直则需转化，属常规题.

第（3）问求二面角的平面角需通过三垂线定理寻求，有一定难度. 计算时需注意二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角，因此在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.

经典答案 （1）取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC.

又平面PDC⊥底面ABCD，所以PO⊥平面ABCD于O. 连结OA，则OA是PA在底面ABCD上的射影.

所以∠PAO就是直线PA与底面ABCD所成角. 因为∠ADC=60°，由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=■.

所以∠PAO=45°，所以PA与底面ABCD所成角的大小为45°.？摇？摇

（2）取AP的中点N，连结MN，由（1）知，在菱形ABCD中，由于∠ADC=60°，则AO⊥CD，又PO⊥CD，则CD⊥平面APO，即CD⊥PA.

又在△PAB中，中位线MN■■AB，CO■■AB，则MN■CO，则四边形OCMN为平行四边形，所以MC∥ON.

在△APO中，AO=PO，则ON⊥AP，故AP⊥MC，而MC∩CD=C，？摇则PA⊥平面MCD.

（3）由（2）知MC⊥平面PAB，则∠NMB为二面角D-MC-B的平面角.

在Rt△PAB中，易得PA=■，PB=■=■=■，cos∠PBA=■=■=■，cos∠NMB=cos（π-∠PBA）= -■. 故所求二面角的余弦值为-■.

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1. 如图4，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB？奂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.

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图4

2. 如图5，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6■，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上的射影为E.

（1）求证：CE⊥BD；

（2）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求二面角C-EG-D的余弦值.

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图5