空间平行与垂直

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线面平行、垂直问题是高考备考的重点. 从解决“平行与垂直”的有关基本问题着手，熟悉公理、定理的内容和功能，通过分析与概括，掌握解决问题的规律——充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高推理论证、空间想象能力. 在高考中，此部分试题要么以客观题的形式出现，要么以解答题的形式出现，但不管是哪种形式，总体难度都不大.

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无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直）都源自于线与线的平行（垂直），即不论何种“平行（垂直）”都要化归到“线线平行（垂直）”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要. 在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.

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在具体操作时，构造中位线与平行四边形是平行问题的主要手段；利用平面的垂线作转化是解决垂直问题的关键.

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■ 如图1，已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点.

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图1

（1）求证：直线MF∥平面ABCD；

（2）求证：平面ACC1A1⊥平面AFC1.

破解思路 （1）要证直线MF∥平面ABCD，根据线面平行的判定定理，就应在平面ABCD中找到一条直线，使该直线平行于MF，即“线线平行？圯线面平行”.

（2）要证平面ACC1A1⊥平面AFC1，根据面面垂直判定定理，就应在平面AFC1中找一条直线垂直于平面ACC1A1.

经典答案 （1）如图2，延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.

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图2

因为B1C1∥NB，F是BB1的中点，所以F为C1N的中点.

因为M是线段AC1的中点，所以MF∥AN.

又MF？埭平面ABCD，AN？奂平面ABCD，所以MF∥平面ABCD.

（2）连结BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面ABCD.

又BD？奂平面ABCD，所以A1A⊥BD.

因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

又AC∩A1A=A，AC，A1A？奂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.

在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形.

故NA∥BD，所以NA⊥平面ACC1A1.

又NA？奂平面AFC1，所以平面AFC1⊥平面ACC1A1.

■ 如图3，已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD.

（1）求证：平面PAC⊥平面NEF.

（2）在线段PA上是否存在一点M，使PC∥平面MEF？若存在，求■的值；若不存在，请说明理由.

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图3

破解思路 （1）要证平面PAC⊥平面NEF，根据面面垂直的判定定理，就应在平面NEF中找到一条直线，使该直线垂直平面PAC，即“线面垂直？圯面面垂直”.

（2）根据线面平行性质定理，由PC∥平面MEF知，过PC的一个平面与平面MEF的交线必与PC平行，即“PC∥平面MEF？圳PC∥MO”.

经典答案 （1）因为PA⊥平面ABCD，BD？奂平面ABCD，所以PA⊥BD.

又BD⊥AC，AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC.

因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥平面PAC.

又EF？奂平面NEF，所以平面PAC⊥平面NEF.

（2）当■=■时，PC∥平面MEF.

连结OM，因为OC=■AC，所以■=■，即■=■，所以PC∥MO.

因为MO？奂平面MEF，PC？埭平面MEF，所以PC∥平面MEF.

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1. 如图4，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，Q为PA的中点. 求证：

（1）PC∥平面QBD；

（2）平面QBD⊥平面PAC.

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图4

2. 如图5，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点.

（1）求证：MD⊥AC；

（2）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

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图5