参考答案（3）

1 三角函数与解三角形

（1）因为cosB=■，所以sinB=■. 又sin2B+cos2■=2sinB·cosB+cos2■=2sinBcosB+■（1-cosB）=2×■×■+■=■.

（2）由已知得cosB=■=■. 又b=■， 所以a2+c2-3=■ac.因为a2+c2=■ac+3≥2ac，所以ac≤6，当且仅当a=c=■时，ac取得最大值. 此时S△ABC=■acsinB≤■×6×■=■，所以△ABC的面积的最大值为■.

2 三角函数的图象与性质

1. 由已知可得，A=2，T=■=2■-■，所以ω=■.

2. 函数f（x）=acos（ax+θ）（a>0）图象上两相邻的最低点与最高点之间的距离为■≥2■，所以最小值是2■.

3. （1）f（x）=■cos（2ωx+2φ）+1+■，由题意，■+1+■=3且■=2，所以A=2，T=4. 所以■=4，ω=■. 所以f（x）=cos■x+2φ+2. 令x=0，得cos2φ+2=2. 又0<φ<■，所以2φ=■. 所以函数f（x）的解析式为f（x）=2-sin■.？摇

（2）令2kπ+■≤■x≤2kπ+■（k∈Z），得4k+1≤x≤4k+3（k∈Z），所以f（x）的增区间是[4k+1，4k+3]（k∈Z）.

3 三角函数与平面向量

1. 因为p∥q，所以（2-2sinA）·（1+sinA）-（cosA+sinA）（sinA-cosA）=0，化简得sin2A=■.

因为△ABC为锐角三角形，所以sinA=■，所以A=60°.

2. （1）由已知，a·b=cos■xcos■-sin■xsin■=cos2x，a+b2=1+2cos2x+1=2（1+cos2x）=4cos2x，所以a+b=2cosx，x∈0，■.

（2）f（x）=a·b-4a+b=cos2x-8cosx=2cos2x-8cosx-1=2（cosx-2）2-9. 又x∈0，■，所以cosx∈[0，1]，故f（x）∈[-7，-1].

4 三角函数与函数

（1）f ′（x）=12x2-6xsinθ，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=■. 函数f（x）存在极值，sinθ≠0，由θ∈[0，π]，只需考虑sinθ>0的情况. 当x变化时， f ′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

■

因此，函数f（x）在x=■处取得极小值f■，且f■=-■sin3θ+■. 要使f■>0，必有-■sin3θ+■>0，可得0

（2）由（1）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与■，+∞内都是增函数. 由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，则a须满足不等式组2a-1

5 三角函数与数列

（1）当θ=■时，sin2θ=■，cos2θ=0，所以an+1-■an=0，即■=■. 故数列{an}是首项为a1=1，公比为■的等比数列. 数列{an}的通项公式为an=■.

（2）由（1）得，an=■，所以当n∈N？鄢，n≥2时，有bn=sin■+cos■=sin■·■+cos■·■=sin■+cos■=■sin■+■，且b1=1也满足上式. 所以当n∈N？鄢时，bn=■sin■+■. 因为n∈N？鄢，所以0<■≤■，■<■+■≤■，所以1≤■sin■+■≤■，即1≤bn≤■.

6 三角函数与导数

-■π，■

7 三角函数与应用

（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，CE=x，CF=y（0

又因为tan（α+β）=■=■=■=■=1，又0<α+β<■，所以α+β=■，即∠EAF=■.

（2）由（1）知，S△AEF=■AE·AF·sin∠EAF=■AE·AF=■·■·■=■·■=■=■=■=■. 因为0<α<■，所以2α+■=■，即α=■时，△AEF的面积最小，最小面积为■-1. 因为tan■=■，所以tan■=■-1，故此时BE=DF=■-1，所以，当BE=DF=■-1时，△AEF的面积最小.

8 三角函数与其他

（1）sinα+sinα+■+sinα+■=0；cosα+cosα+■+cosα+■=0.

（2）sinα+sinα+■+sinα+■+sinα+■+…+sinα+■=0；cosα+cosα+■+cosα+■+cosα+■+…+cosα+■=0.

综合测试

1. 因为x=sin■=cos■-■=cos■，且k∈Z，所以cos■=cos■，所以A=B. 故选D.

2. 若cos■≥■，则2kπ-■≤■≤2kπ+■，k∈Z，解得4k-■≤x≤4k+■，k∈Z. 又x∈[0，1]，所以x∈0，■，故事件“cos■≥■”发生的概率p=■. 故选D.

3. 根据偶函数的性质以及由定积分可求得阴影部分的面积为S=2■cosxdx+■（-cosx）dx=2sinx■■-sinx■■=21-■-1=4-■，所以围成的封闭图形的面积是4-■. 故选C.

4. 由tan■x-■=0，得■x-■=kπ（k∈Z），x=4k+2（k∈Z），结合图形可知A（2，0）. 由tan■x-■=1，得■x-■=■+kπ（k∈Z），所以x=3+4k（k∈Z），结合图形可知B（3，1）. 所以（■+■）·■=（5，1）·（1，1）=6.

5. 由命题p：不等式lg[x（1-x）+1]>0，可知lg[x（1-x）+1]>lg1. 所以x（1-x）+1>1，所以0sinB，所以在三角形中有∠A>∠B；反之，在三角形中若∠A>∠B，则必有sinA>sinB，即cos2■+■

6. 根据题意，若sinα=■，则cos2α=1-2sin2α=■，则f（4cos2α）=f■. f（x）是以4为周期的函数，则f■=f-■，又函数f（x）为奇函数，则f-■=-f■=-1，即f（4cos2α）=f■=f-■=-f■=-1. 故答案为-1.

7. 当α+β+γ=90°时，tanαtanβ+tanγtanβ+tanγtanα=1.

8. 因为2011÷6=335…1，所以根据程序框图转化得sin■+sin■+sinπ+…+sin■=■+■+0-■-■+0+■+■+0-■-■+0+…+■+■+0-■-■+0+■=■.

9. （1）假设a∥b，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，所以2cos2x+sinxcosx+sin2x=0，2·■+■sin2x+■=0，即sin2x+cos2x= -3，所以■sin2x+■=-3，与■sin2x+■≤■矛盾，故向量a与向量b不可能平行.

（2）因为f（x）=a·b=（cosx+sinx）·（cosx-sinx）+sinx·2cosx=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=■■·cos2x+■sin2x=■sin2x+■. 因为-■≤x≤■，所以-■≤2x+■≤■，所以当2x+■=■，即x=■时， f（x）有最大值■. 当2x+■=-■，即x=-■时， f（x）有最小值-1.

10. （1）因为m=（sinA，sinC），n=（cosC，cosA），所以m·n=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB. 又已知m·n=sin2B，所以sin2B=sinB，所以2sinBcosB=sinB，显然sinB≠0，所以cosB=■，所以B=■.

（2）因为■·（■-■）=■·■=c·acosB=■ac=8，所以ac=16. 因为三边a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=4b2-48，所以3b2=48，b=4.

11. （1）第一步：求OA，在△AOB中，∠ABO=π-β，∠AOB=β-φ，AB=a，由正弦定理得OA=■=■；第二步：求OE，在Rt△EOA中，∠EAO=θ，∠EOA=90°，则OE=OAtanθ=■.

（2）由图象易得a=■，β=■，φ=■，又因为θ=■，所以得OE=■=■. 过点E作EF⊥直线AB于F，连结OF. 因为AB⊥OE，又OE∩EF=E，所以AB⊥平面EOF，所以AB⊥OF. 在△AOB中，∠OAB=∠AOB=■，则OB=AB=a=■，在Rt△BFO中，∠OBF=■，则OF=OBsin■=■×■=■. 又在Rt△EOF中，OE=■，所以EF=■=■=■.

12. （1）将x=0，y=■代入函数y=2cos（ωx+θ）得cosθ=■，因为0≤θ≤■，所以θ=■. 又因为y′= -2ωsin（ωx+θ），y′x=0=-2，θ=■，所以ω=2，因此y=2cos2x+■.

（2）因为点A■，0，且Q（x0，y0）是PA的中点，y0=■，所以点P的坐标为2x0-■，■. 又因为点P在y=2cos2x+■的图象上，所以cos4x0-■=■.

因为■≤x0≤π，所以■≤4x0-■≤■，从而得4x0-■=■或4x0-■=■，即x0=■或x0=■. ■