三角函数与其他

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命题者常常结合其他知识点来考查三角函数，运用多个知识点之间的交叉、渗透和组合出题，具有基础性和综合性，题型可大可小，难易程度忽高忽低.

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解答这种类型的综合题不仅需要同学们熟练掌握好三角函数中的基础知识、基本技能和基本方法，而且还要熟练掌握相关结合知识点的内容，然后分别考虑题目中三角函数的特点与其他知识点，采取各个突破的策略.

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■ 命题“若α=■，则tanα=1”的逆否命题是（ ）

A. 若α≠■，则tanα≠1

B. 若α=■，则tanα≠1

C. 若tanα≠1，则α≠■

D. 若tanα≠1，则α=■

破解思路 本题属于容易题，命题“若p，则q”的逆否命题的格式是“若？劭q，则？劭p”，故可写出命题“若α=■，则tanα=1”的逆否命题.

经典答案 因为“若p，则q”的逆否命题为“若？劭p，则？劭q”，所以“若α=■，则tanα=1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠■”. 选C.

■ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

①sin213°-sin13°cos17°+cos217°；

②sin215°-sin15°cos15°+cos215°；

③sin218°-sin18°cos12°+cos212°；

④sin2（-18°）-sin2（-18°）cos48°+cos248°；

⑤sin2（-25°）-sin2（-25°）cos55°+cos255°.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

破解思路 （1）选择一个容易求解的式子求出常数即可.

（2）推广，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.

证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果.

证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为■+■-sinα·（cos30°cosα+sin30°sinα），即1-■+■cos2α+■sin2α-■sin2α-■，化简可得结果.

经典答案 选择②，计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-■·sin30°=■，故这个常数为■.

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■.

法1：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=sin2α+■cosα+■sinα■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+■cos2α+■sin2α+■sinαcosα-■sinα·cosα-■sin2α=■sin2α+■cos2α=■.

法2：sin2α-sinαcos（30°-α）+cos2（30°-α）=■+■-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1-■+■cos2α+■sin2α-■·sin2α-■= 1-■-■+■=■.

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运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：若两点等分单位圆时，有相应关系为：sinα+sin（π+α）=0，cosα+cos（π+α）=0. 由此可以推知：

（1）三等分单位圆时的相应关系为：___________________；

（2）n等分单位圆时的相应关系为：______________.