三角函数与函数

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三角函数与函数交汇的试题是近两年常考题型，主要以选择题形式呈现，用来考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力，难度较大.

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解答三角函数与函数交汇的试题时，需要充分运用三角函数的奇偶性、周期性和对称性，并结合函数性质的定义进行讨论；要尽量作出所要求函数的示意图，从数形结合的角度考虑问题会更直观.

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■ 函数y=■的图象大致为（ ）

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A B

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C D

破解思路 本题应从奇偶函数图象的对称性和极限思想的角度来排除选项. 由于函数y=■为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如当x→0+时，y→ +∞）可排除B，C，从而得到答案D.

经典答案 令y=f（x）=■，因为f（-x）=■=-■=-f（x），所以函数y=■为奇函数，所以其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+时，y→+∞，故可排除B；当x→ +∞时，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析. 故选D.

■ 设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3. 又已知函数g（x）=xcos（πx），则函数h（x）=g（x）-f（x）在-■，■上的零点个数为（ ）

？摇A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

破解思路 利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈0，■，x∈■，■时，g（x）的解析式，推导出f（0）=g（0）， f（1）=g（1），g■=g■=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可.

经典答案 因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，所以f（x）= f（2-x）=（2-x）3.当x∈0，■时，g（x）=xcos（πx）；当x∈■，■时，g（x）=-xcos（πx）. 注意到函数f（x），g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0）， f（1）=g（1）=1，g■=g■=0，作出函数f（x）和g（x）的草图（如图1），函数h（x）除了0，1这两个零点之外，分别在区间-■，0，0，■，■，1，1，■上各有一个零点，共有6个零点，故选B.

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图1

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已知函数f（x）=4x3-3x2sinθ+■的极小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π].

（1）求θ的取值范围；

（2）若在θ的取值范围内的任意θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围.