数列与不等式

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不等式知识是高中数学的重要组成部分，也是大学学习的接轨点，深受命题人的喜爱，以至于高考对数列与不等式综合方面的考查，频频见于卷面，且多以压轴题的形式出现，但相较前几年，其出现的频率有所减弱.

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正确进行问题转化是破解该类题型的关键. 一方面是将不等式问题转化为数列通项放缩问题，另一方面是将数列不等式问题转化为函数问题. 当然，掌握如作差法、放缩法、数学归纳法、构造函数法等常规方法是非常必要的.

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■ 设数列{an}的前n项的和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N？鄢，且a1，a2+5，a3成等差数列.

（1）求a1的值；？摇

（2）求数列{an}的通项公式；？摇

（3）证明：■+■+…+■<■.

破解思路 本题的命题思路是清晰的，首先考查由递推公式求通项公式的基本技能，然后考查数列求和，以及与不等式的综合应用. 因此，我们只要跟着命题者的思路进行推理和运算即可，及时联想备考过程中曾经做过的试题所采用的解决方法.

经典答案 （1）因为2Sn=an+1-2n+1+1，所以2S1=a2-3，即a2=2a1+3；2S2=a3-7，即a3=6a1+13.

因为a1，a2+5，a3成等差数列，所以2（2a1+3+5）=a1+6a1+13，即a1=1.

（2）因为2Sn=an+1-2n+1+1，所以当n≥2时，2Sn-1=an-2n+1，所以2Sn-2Sn-1=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n（n≥2）.

因为a1=1，a2=5，所以当n=1时，an+1=3an+2n也成立.

因为an+1+2n+1=3（an+2n），所以{an+2n}是以3为首项，公比为3的等比数列，所以an+2n=3n，an=3n-2n.

（3）法1：因为an=3n-2n=3n-1+2×3n-1-2n=3n-1+2×（3n-1-2n-1）>3n-1，所以■<■，所以■+■+…+■<■+■+…+■=■1-■<■.

法2：因为当n≥2时，an=3n-2n=（2+1）n-2n，an=C■■20+C■■21+C■■22+…+C■■2n-2n>C■■22=2n（n-1），所以■<■=■■-■，所以■+■+…+■<■+■■-■+■-■+…+■-■=1+■1-■<■.

■ 已知数列{an}的通项公式是an=■，试证明：a1·a3·a5·…·a2n-1<■<■sin■.

破解思路 该题简明扼要，但所蕴涵的数学思想方法却精彩纷呈. 对于a1·a3·a5·…·a■<■，我们可以抓住■，转换为n项的乘积；对于■<■sin■，我们可以借助函数知识破解.

经典答案 先证a1·a3·a5·…·a■<■. 因为■=■=■，所以■=■×■×■×…×■.

因为a1·a3·a5·…·a■=■×■×…×■，故要证a1·a3·a5·…·a■<■，只要证■<■.

又因为■■-■■=■<0，故■<■，所以a1·a3·a5·…·a■<■.

再证■<■sin■.

要证■<■sin■，只要证■<■sin■.

设函数f（x）=x-■sinx（0

因为0<■≤■<■，所以■<■sin■，所以■<■sin■.

综上所述，原不等式成立.

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设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N？鄢，都有a■■+a■■+a■■+…+a■■=S■■，其中Sn为数列{an}的前n项和.

（1）求a1，a2，a3，并求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=3n+（-1）n-1λ2■（λ为非零整数，n∈N？鄢），求λ的值，使得对任意n∈N？鄢，都有bn+1>bn成立.