数列与函数

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分析近几年高考数列试题，不难发现，许多数列不等式问题、最值问题、恒成立问题和探究性问题，实质考查同学们的问题转化能力，将数列问题转化为函数问题，然后借助导数工具，达到解决问题的目的，其思维过程是“数列问题？圮函数问题？圮导数问题”.

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数列是函数概念的继续和延伸，将单调性、最值、周期、对称性及分类思想应用到数列中自然是情理之事. 数列与函数的综合，主要体现在将数列问题转化为函数问题，充分利用函数性质进行解答，这往往需要同学们养成良好的运用函数解题的思维习惯，主动构造函数，借助导数等工具解答.

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■ 给定数列{an}，若满足a1=a（a>0且a≠1），对于任意的n，m∈N？鄢，有an+m=an·am，则称该数列为指数数列.

（1）定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）f（y）=f（x+y），当x>0时，f（x）>1，若数列{an}满足a1=2，f（an+1）=■（n∈N？鄢），试证明数列{an}是指数数列.

（2）若数列{an}是指数数列，a1=■（t∈N？鄢），

①当n≥2，n∈N时，求证：an>1-■；

②求证：数列{an}的任意三项都不构成等差数列.

破解思路 该题模仿指数函数，定义了指数数列，这类试题的特点是给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识，它可以是新的概念、新的定义、新的定理或新的规则、新的情景. 解决这类题目首先要读懂新概念，理解新情景，获取有效信息，然后根据这个新知识作进一步演算或推理，综合运用新的信息和数学知识，分析、解决新情景问题. 第（1）问的突破口是探究抽象函数y=f（x）的单调性，从而脱去符号“f”，得出数列{an}的递推关系；第（2）问的突破口是数学归纳法和反证法.

经典思路 （1）因为f（x）f（y）= f（x+y），故有f（0）f（1）=f（1）.

又当x>0时，f（x）>1，故f（1）≠0，所以f（0）=1>0；

当x<0时，-x>0，由f（x）f（-x）= f（0），得f（x）=■>0.

所以对于任意实数x，f（x）>0恒成立.

任取x1，x2∈R，且x10，因为f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]- f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，所以f（x2）>f（x1），故函数y=f（x）在R上单调递增.

因为f（an+1）=■，所以f（an+1-2an）=f（0），所以an+1-2an=0，即an+1=2an，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an=2n. 显然对于任意的n，m∈N？鄢，恒有an+m=an·am，而且a1=2，所以数列{an}是指数数列.

（2）因为数列{an}是指数数列，故对于任意的n，m∈N？鄢，有an+m=an·am，所以令m=1，则an+1=an·a1=■an，所以{an}是公比为■，首项为■的等比数列，故an=■■.

①证明（用数学归纳法证明）：

当n=2时，左边=■■=1-■■>1-■=右边，不等式成立.

19a8575180ac76430a2d62e2d64b551b5b564c27b53787e2531abeddc767db89

假设当n=k（k∈N？鄢，k≥2）时，不等式成立，即a■>1-■.

因为ak+1=■■=■■·■=ak·1-■，所以ak+1>1-■·1-■>1-■，所以当n=k+1时，不等式也成立.

综上所述，当n≥2，n∈N时，不等式都成立.

②假设数列{an}中存在三项au，av，aw构成等差数列，不妨设au>av>aw，则u

因为2av=au+aw，即2·■■=■■+■■，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u （？鄢）.

当t是偶数时，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶数，（t+4）w-v是偶数，（t+3）v-u是奇数，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u≠（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立；

当t是奇数时，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶数，（t+4）w-v是奇数，（t+3）v-u是偶数，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u≠（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立.

所以任意t∈N？鄢，2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立，这与（？鄢）式矛盾，

所以假设不成立，故数列{an}的任意三项都不构成等差数列.

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已知函数f■（x）=■+■（其中n为常数，n∈N？鄢），将函数f■（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn.

（1）求Sn；

（2）若对任意的n∈N？鄢，总存在x∈（0，+∞）使■+a=an，求a的取值范围；

（3）比较■+f■（en）与an的大小，并加以证明.