参考答案

1 函数的概念及其表示

1. 因为对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立，令x=0，可得f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1， 所以f（x）=x2+x+1.

2. 不等式即为a≥-■+2■在x∈■，2上恒成立，画出函数f（x）=-■+2■=x，■

2 函数图象与性质

1. 由f（x+1）=f（x-1）知f（x）是周期为2的周期函数. 在同一直角坐标系内画出函数y=f（x）及y=log■x的图象，可知y=f（x）与y=log■x的图象有4个交点.

？摇2. 因为f（2-x）=-f（x），所以f（x）有对称中心（1，0）. 又f（2-x）=-f（x），所以f（x）=-f（2-x），所以f（x+4）= -f[2-（x+4）]=-f[-（x+2）]. 又f（x）为偶函数，所以f（x+4）=-f（x+2），所以f（x+4）=f[2-（x+2）]=f（-x）=f（x），所以4是f（x）的一个周期. 从而由图象可知其中正确的判断是①②③.

3 函数与导数

（1）由已知， f ′（x）=■（x>0）. 当a>MD6tIj4eb8Jndij3yEAXM2cJAwbEqhJoxv9H6DpmHz4=0时， f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a<0时， f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；当a=0时， f（x）不是单调函数.

（2）由f ′（4）=-■=■得a=-2， f（x）=-2lnx+2x-3，所以g（x）=■x3+■+2x2-2x，所以g′（x）=x2+（m+4）x-2. 因为g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=-2，所以g′（1）<0，g′（3）>0，所以m<-3，m>-■，所以m∈-■，-3.

4 函数与不等式

1. 由f（x）≥0，得ax≤ex-■x2-1. 因为x≥■，所以a≤■.

令g（x）=■，则g′（x）=■.

再令φ（x）=ex（x-1）-■x2+1，则φ′（x）=x（ex-1）.

因为x≥■，所以φ′（x）>0，即φ（x）在■，+∞上单调递增. 所以φ（x）≥φ■=■-■>0，因此φ（x）>0？圯g′（x）>0x∈■，+∞？摇，故g（x）在■，+∞上单调递增. 则g（x）≥[g（x）]min=g■=■=2■-■，所以amax=2■-■.

2. 因为f ′（x）=■-■-■=■=-■.

又因为x∈（0，2），所以当x∈（0，1）时， f ′（x）<0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，2）时， f ′（x）>0，函数f（x）单调递增，所以f（x）在（0，2）上的最小值为f（1）=-■.

由于“对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2）”等价于“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值-■”.

即存在x∈[1，2]，使得g（x）=x2-2bx+4≤-■，即2bx≥x2+■，即2b≥x+■∈■，■，所以2b≥■，解得b≥■，即实数b的取值范围是■，+∞.

5 二次函数、二次方程和二次不等式

1. m∈（-∞，-1]

2. -1

6 指数函数、对数函数、幂函数

1. 当x0∈A时， f（x0）∈[1，2）， f[f（x0）]∈（0，2]，而要当x0∈A时， f[f（x0）]∈A，则f（x）=4-2x∈[0，1），所以x∈■，2，即2■∈■，2，所以x0∈log■■，1，即选A.

2. （1）因为f ′（x）=lnx+1（x>0），令f ′（x）≥0，即lnx≥-1=lne-1，所以x≥■；同理，令f ′（x）≤0，可得0

（2）F′（x）=■（x>0）.

当a≥0时，F′（x）>0，F（x）在[1，e]上单调递增，则F（x）min=-a=■，所以a=-■？埸[0，+∞），舍去.

当a<0时，F（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增.

若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）min= -a=■，a=-■？埸（-1，0），舍去；

若a∈[-e，-1]，F（x）在（1，-a）上单调递减，在（-a，e）上单调递增，所以F（x）min=F（-a）=ln（-a）+1=■，a= -■∈[-e，-1]；

若a∈（-∞，-e），F（x）在[1，e]上单调递减，F（x）min=■=■？圯a= -■e？埸（-∞，-e），舍去.

综上所述：a=-■.

7 函数与应用

（1）把特殊点（0，8）代入C（x）=■■■（0≤x≤10），求出k=40，因此C（x）=■.

由f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，列出f（x）的表达式.

设隔热层厚度为x cm，而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x）=20×C（x）+C1（x）=20×■+6x=■+6x （0≤x≤10）.

（2）求出导数f ′（x）=6-■，令f ′（x）=0，即■=6，解得x=5，x=-■（舍去）. 当00. 故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）=6×5+■=70.

综合测试

1. 易知f（x）=log■x，x>0，-log■（-x），x<0 是奇函数， f（a）>f（-a）？圳f（a）>0？圳-11. 故选C.

2. 如图1，作出函数y=f（x）的图象. 令t=x2+2x，则t=（x+1）2-1≥-1. f（x2+2x）=a有六个不同的实根？圳关于t的方程f（t）=a在区间（-1，+∞）有三个不同的根，注意到f（-1）=8，由图象可知8

■

图1

3. 由0

4. 由题意可知f（x）=x2+px+q和g（x）=x+■在区间1，■上有相同的最小值f（x0）=g（x0），由此可知f（x）=（x-2）2+4，所以f（x）在A上的最大值为f（1）=5，故选A.

5. 由f（x）=x3-3x+1≥1解得x≤-2或-■≤x≤0或x=1或x≥■，即B=（-∞，-2]∪[-■，0]∪{1}∪[■，+∞），由A∩B只有一个元素可得0

6. 因为对任意的x∈[1，+∞）， f（mx）+mf（x）=2mx-m+■■<0恒成立，所以当m<0时，有2m2x2-1-m2>0对任意x∈[1，+∞）恒成立，即2m2×1-1-m2>0，解得m2>1，即m<-1；当m>0时，有2m2x2-1-m2<0对任意x∈[1，+∞）恒成立，x无解. 综上所述，实数m的取值范围是m<-1.

7. 由题可知，无论正方形沿着x轴的正方向还是负方向滚动，再次使点P与沿x轴接触的x轴方向的路程是4，故其最小正周期为4. 在正方形的翻滚过程中，函数y=f（x）的两个相邻零点间点P的轨迹如图2所示，其面积为■×π×12+■×π×（■）2+2×■×1×1=1+π.

■

图2

8. 令u=x2-ax+3a，因为00在[2，+∞）上恒成立，且为增函数.所以由此可得■≤2，u（2）=4-2a+3a>0，解得-4

9. （1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20≤x≤200时，设v（x）=ax+b，显然v（x）=ax+b在[20，200]上是减函数. 由已知得200a+b=0，20a+b=60，解得a=-■，b=■.故可得函数v（x）=60，0≤x<20，■（200-x），20≤x≤200.

（2）依题意并由（1）可得f（x）=60x，0≤x<20，■x（200-x），20≤x≤200.

当0≤x≤20时， f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200；当20≤x≤200时， f（x）=■x（200-x）≤■■2=■，当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立.

所以，当x=100时， f（x）在区间[20，200]上取得最大值■.

综上，当x=100时， f（x）在区间[0，200]上取得最大值■≈3333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时.

10. （1）当a=2时， f（x）=2lnx-2x的定义域为（0，+∞）， f ′（x）=■-2，由x>0，f ′（x）>0得0

（2）f（x）=0？圳2lnx-ax=0？圳a=g（x）=■，g′（x）=■.

由g′（x）=■>0得0■时， f（x）的零点不存在；当a=■或a≤0时， f（x）有且仅有一个零点；当0

■

图3

11. 直线AB的方程为x+2y=2，设直线EF的斜率为k，则直线EF的方程为y=kx（k>0）.

如图4，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1

■

图4

根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为h1=■=■，h2=■=■.又AB=■=■，所以四边形AEBF的面积为S=■AB（h1+h2）=■·■·■=■=2■≤2■，当2k=1，即当k=■时，上式取等号. 所以S的最大值为2■.

12. （1）设直线l：y=3x-e与函数y=f（x）的图象相切于点Q（x0，y0），则y0=3x0-e，且f（x0）=ax0+x0lnx0，由于f ′（x）=a+1+lnx，所以f ′（x0）=a+1+lnx0=3. 所以lnx0=2-a，故有y0=f（x0）=ax0+x0lnx0=ax0+x0（2-a）=2x0=3x0-e. 所以x0=e，a=1.

（2）①由（1）可知， f（x）=x+xlnx，所以g（x）=■，g′（x）=■. 令h（x）=x-2-lnx，则x∈（1，+∞）时，h′（x）=1-■>0，所以h（x）=x-2-lnx是（1，+∞）上的增函数. 又h（3）=1-ln3<0，h（4）=2-2ln2>0，所以h（x）=x-2-lnx在（1，+∞）上有唯一的零点x0，当且仅当x>x0时，h（x）=x-2-lnx>0即g′（x）>0，所以g（x）是区间（1，x0）上的减函数，是（x0，+∞）上的增函数. 所以当x=x0时，g（x）取最小值g（x0）.

②由（1）可知，3