函数与不等式

（1）根据含参数不等式的解的情况或其他条件，确定参数的取值范围问题，虽然在教材中没有作专门介绍，但由于这类问题非常适合用于考查学生分析问题、解决问题的能力，所以在近几年各地的试卷中均有所涉及.

（2）函数作为中学数学的主干知识，一直是高考的热点问题，而导数是研究函数的重要工具，通过原函数的导函数把函数的单调性问题化归为不等式问题，这种命题模式得到各地命题专家的青睐；虽然试题各不相同，但解决问题的思想方法基本相同，即以导数为桥梁，以不等式为工具研究函数的单调性及函数的其他性质.

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（1）明确用分离变量的方法把问题化归为求函数的最值问题是解决“求不等式中的参数范围问题”最行之有效的方法.

（2）明确不等式是解决有关函数问题的最重要的工具，在解决有关函数的问题时千万不要忘记它.

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■ 设x，y∈（0，2），xy=2，且6-2x-y>a（2-x）（4-y）恒成立，求实数a的取值范围.

破解思路 注意到从原不等式可以分离出参变量a，即原不等式等价于a<■，故问题就化归为求二元函数F（x，y）=■的值域. 由于xy=2，所以还可以把求二元函数F（x，y）值域的问题转化为求关于x的一元函数的值域问题.

经典答案 因为x，y∈（0，2），所以（2-x）（4-y）>0，6-2x-y>a（2-x）（4-y）？圳a<■？圳a<■？圳2a<■？圳2a<1+■？圳2a<1+■.

令f（x）=5-2x+■，由于x∈（0，2），且y=■∈（0，2），所以1x）=5-2x+■（1

■ 若已知函数f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R）在区间[0，2]上的最大值是2，求a的取值范围.

破解思路 （1）当a的值确定时， f（x）在区间[0，2]上的最大值也随之确定，从理论上讲，其最大值可以表示成关于a的函数h（a），解方程h（a）=2可得到a的值. 但这个想法有以下两方面的不足：其一，求函数h（a）的解析式是一件很不容易的事，所以没有可操作性；其二，照理可求出a值，而问题所要的结论是求a的取值范围（“对于这个问题，元芳你怎么看？”），因此题目中可能还隐藏着其他“机关”（“此事必有蹊跷！”）.

（2）注意到函数f（x）在区间[0，2]上的最大值只可能在边界点的函数值及在这个区间上的极值点的函数值中产生，因此必有f（0）≤2， f（2）≤2成立，由此可缩小“包围圈”. 在操作过程中不必真的求出其最大值，只需在区间[0，2]上的极值点的函数值不大于2且可以取到2即可.

（3）若能发现“暗藏机关”：f（2）=2，则问题即化归为“0≤x≤2时， f（x）≤f（2）恒成立，求实数a的取值范围”. 运用分离变量法，把问题化归为求函数的最值，是求解不等式中的参数范围最常用的方法之一，所以我们要有运用分离变量法解决问题的“冲动”，而不是看到题目就想扔卷子的冲动.

经典答案 法1（分类讨论，各个击破）：由已知，f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R），所以可得f ′（x）=3（1-2a）x2+2（9a-4）x+（5-12a）=（x-1）[3（1-2a）？摇x-（5-12a）].

记t=■其中a≠■，由t=1可得a=■. 由题意可知f（0）=4a≤2，得a≤■. 又因为？坌a∈R， f（2）=2恒成立， f（1）=-a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤■.

①当0≤a<■时，0<1

②当■≤a<■时，t≤0<1<2， f（x）是[0，1]上的减函数，是[1，2]上的增函数，所以f（x）在[0，2]上的最大值为max{f（0）， f（2）}=2.

③当■

又因为f（t）=■+4a， f（t）<2？圳（5-12a）2（2-3a）<54（1-2a）3？圳9a<4. 由于■

④当a=■时， f（x）是[0，1]上的减函数，是[1，2]上的增函数，所以f（x）在[0，2]上的最大值为max{f（0）， f（2）}=2成立.

⑤当a=■时， f ′（x）=（x-1）2≥0是[0，2]上的增函数，所以f（x）在[0，2]上的最大值为f（2）=2.

由①②③④⑤可知a的取值范围是0≤a≤■.

评注 这种解法的指导思想是分类讨论思想，即把需要论证的问题分解成若干个小问题，然后各个击破，故总的解题思路显得很自然. 在操作过程中注意利用x=1是其中的一个极值点，边界点的函数值f（0）≤2，先把a的取值范围压缩到0≤a≤■，但后面的论证过程显得比较繁杂. 若能大胆猜想0≤a≤■就是a的取值范围，则可据此对其论证过程作必要的修正，如通过改变主元的方法，简化证明过程.

法2（大胆猜想，小心论证）：根据题意可知f（0）=4a≤2，得a≤■. 又因为？坌a∈R， f（2）=2恒成立，由f（1）=-a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤■. 下面证明：？坌x∈[0，2]，？坌a∈0，■有f（x）≤f（2）=2恒成立.

由于f（x）=g（a）=（-2x3+9x2-12x+4）a+x3-4x2+5x，因此要证明：？坌a∈0，■，g（a）≤2恒成立，只需证明：g（0）≤2，g■≤2成立.

令h（x）=g（0）=x3-4x2+5x，易知h（x）是[0，1]和■，2上的增函数，1，■上的减函数，所以h（x）在[0，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g（0）≤2成立.

令s（x）=g■=■（x-1）2+■，s（x）在[0，2]上的最大值为max{s（0），s（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g■≤2成立.

综上可得，g（0）≤2，g■≤2恒成立，故a的取值范围是0≤a≤■.

评注 本解法的关键是能注意到f（2）=2，且x=1是函数的一个极值点，从而大胆猜想a的取值范围是0≤a≤■，多数考生没有这样的直觉和胆识. 这种解法过程简结，确实令人拍案叫绝，但其缺点也很明显，即思路不是很自然.

法3（分离变量，再求最值）：根据题意可知f（0）=4a≤2，得a≤■，又因为？坌a∈R， f（2）=2恒成立，函数f（x）在区间[0，2]上的最大值是2？圳0≤x≤2时， f（x）≤f（2）恒成立？圳0≤x≤2时，（x-2）[（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1]≤0恒成立？圳0≤x<2时，（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1≥0恒成立？圳0≤x<2时，a（2x2-5x+2）≤x2-2x+1恒成立？圳0≤x<■时，a≤■恒成立；且■LV9zcnULFHhgKcDMiRL8GZ2szT0gVaOLtv8OMpPhHIY=a≥■恒成立.

令g（x）=■0≤x<■，则可得g（x）=2-■-■■0≤x<■，其值域为（0，2]，所以■=■的最小值为■，所以a≤■. 当■

评注 以函数的思想为指导，运用分离变量的方法求解参数的范围，显得思路自然，唯一要担心的是实施分离变量后所得目标函数的最值能否顺利求得. 注意到x=2是关于x的方程f（x）=f（2）的解，所以可以预见关于x的三次不等式f（x）≤f（2）必可化简为关于x的二次不等式（可以消去因式x-2），因此上述担心是多余的，用分离变量法便具有了可操作性.

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1. 已知函数f（x）=ex-■-ax-1，当x≥■时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，则实数a的最大值为_____.

2. 已知函数f（x）=lnx-■x+■-1，g（x）=x2-2bx+4. 当a=■时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是______.