函数与导数

高考中对函数与导数的交汇考查非常全面，所占的分值也较高，既有基础题，也有综合题. 纵观近几年各地的高考数学试卷，理科试题的压轴题多数是导数与函数的综合问题，其中的最后一小题往往难度较大；文科的倒数第二题通常是函数与导数的综合问题，也具有一定的挑战性.

（1）要熟悉运用导数研究函数性质的基本程序：先求出函数的定义域，再求其导函数，确定导函数的零点，由此可得函数的单调性及极值（或最值）.

（2）对于含参变量的最值问题，特别要注意分类讨论的思想方法的应用.

（3）对于比较陌生的创新问题要注意等价转化思想的应用，若能化归为熟悉的基本问题，则离成功就不远了.

（4）若试题中有若干个小题，则要特别注意前后小题之间的联系，要有利用前面小题的结论解决后面小题问题的意识.

■ 已知函数f（x）=ln2（1+x）-■.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若不等式1+■■≤e对任意的n∈N？鄢都成立（其中e是自然对数的底数），求α的最大值.

破解思路 对于第（1）问，把求函数f（x）的单调区间的问题化归为解关于x的不等式f ′（x）>0. 如果对所得到的不等式f ′（x）>0不是很熟悉，那么也可以通过已知不等式构造函数，再由其导数确定函数的单调性，然后利用函数的单调性求出不等式的解，即借用函数的思想方法解决不等式问题.

对于第（2）问，由已知不等式恒成立，求参数α的取值范围，最常用的方法是运用分离变量法，把问题化归为求函数的最值问题. 在具体操作过程中，要注意通过构造函数，利用其导数研究单调性，再由其单调性求最小值的“解题套路”的应用；并要关注前后小题之间的联系，即在解决后面的问题时要有意识地运用前面题目所得的结论.

经典答案 （1）易知函数f（x）的定义域是（-1，+∞）， f ′（x）=■-■=■.

f ′（x）>0？圳2（1+x）ln（1+x）-（x+1）2+1>0（其中x+1>0）？圳2ln（1+x）-（x+1）+■>0（其中x+1>0）.

令g（x）=2ln（1+x）-（x+1）+■（其中x+1>0），则g ′（x）=■-1-■=■. 所以x+1>0时，g ′（x）≤0，所以g（x）是（-1，+∞）上的减函数.

由于g（0）=0，所以f ′（x）>0？圳g（x）>0？圳-10. 故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）.

（2）由于1+■■≤e？圳（n+α）·ln1+■≤1？圳α≤■-n. 若令h（x）=■-■，x∈（0，1]，则可得h′（x）=-■+■=■ln2（1+x）-■=■· f（x）.

由（1）可知：x∈（0，1]时， f（x）

■

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）的图象在x=4处切线的斜率为■，且函数g（x）=■x3+x2f ′（x）+■在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围.