函数突破

函数是整个高中数学教学内容的核心，它也是贯穿中学数学教学的主线，当然也是历年各地高考数学试卷中的最大热点，在选择题、填空题、解答题三种题型中一般都有有关函数的试题，且试卷中的压轴题十有八九是与函数相关的问题.函数思想是中学数学中最重要的数学思想之一，许多有关数列、不等式、立体几何、解析几何的问题都可以通过运用函数的思想方法分析并解决.

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从近几年来看，对本考点的考查形势稳中求变，向着更灵活的方向发展，多为寻求变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质来解决问题.考查以选择题或填空题为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大.

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（1）函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，一般通过构建不等式组求解.

（2）要克服“函数就是解析式”的片面认识，函数的表达还包括列表法和图象法，解析法只是常用的表述方法，同时也要注意自变量的实际意义的要求.

（3）确定函数f（x）的值域或最值一般用不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用它的图象和性质求解，还可利用单调性的定义或导数法确定其性质，再求值域.

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■ 函数f（x）=■的定义域为A，g（x）=lg[（x-a-1）（2aH9lnOzJE9XKdJ8aRJhOqh5XF/vsIG1y1D43cIpn4Bcc=-x）]（a<1）的定义域为B.

（1）求A；

（2）若B？哿A，求实数a的取值范围.

破解思路 求实数集合间的相互关系一般利用数轴（或韦恩图）进行解决；对含参问题要注意合理使用分类讨论思想.

经典答案 （1）由2-■≥0得x<-1或x≥1，所以A=（-∞，-1）∪[1，+∞）.

（2）由（x-a-1）（2a-x）>0得[x-（a+1）]（x-2a）<0. 因为a<1，所以a+1>2a，所以B=（2a，a+1）. 因为B？哿A，所以2a≥1或a+1≤-1，即a≥■或a≤-2. 而a<1，所以a≤-2或■≤a<1.

■ 函数f（x）=■x-1，x≥0，■，x<0.若f（a）>a，则实数a的取值范围是___.

破解思路 分段函数体现了“分类”的数学方法，也是高考命题的热点之一. 解决此类问题一般需从两方面考虑，必要时可结合图象进行处理.

经典答案 法1：当a≥0时，有■a-1>a，得a<-2（不符合条件，舍去）；当a<0时，有■>a，解得a<-1或a>1，所以a<-1，综上可得a的取值范围是（-∞，-1）.

法2：分别作出函数f（x）的图象与函数y=x的图象，用两函数交点的横坐标确定a的取值范围.

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1. 设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立，则f（x）=_________.

2. 若不等式a+■≥2■在x∈■，2上恒成立，则实数a的取值范围为_________.