2013年高考模拟金卷（一）

（说明：本套试卷满分200分，考试时间150分钟）

命题：江苏启东中学 金 山

必做题部分

（考试时间120分钟，测试总分160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1. 已知复数z=1+■，若复数z为纯虚数，则实数a的值为________.

2. 以下程序运行后结果是__________.

i←1

While i<8

i←i+2

S←2×i+3

i←i+3

End While

Print S

3. 如图1：已知树顶A离地面■米，树上另一点B离地面■米，某人在离地面■米的C处看此树，则该人离此树_______米时，看A，B的视角最大.

4. 在周长为16的三角形ABC中，AB=6，A，B所对的边分别为a，b，则abcosC的取值范围是_______.

5. 设定义域为R的函数f（x）=lgx，x>0，-x2-2x，x≤0，则关于x的函数y=2f 2（x）-3f（x）+1的零点的个数为_______.

6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3a■+2Sn=3（n为正整数），则数列{an}的通项公式为_______.

7. 直线x=±m（0

8. 过平面区域x-y+2≥0，y+2≥0，x+y+2≤0内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα=_______.

9. 已知A，B是椭圆■+■=1的短轴端点，O为坐标原点，C为椭圆上不同于A，B的任意一点，若P为线段OC上的动点，则（■+■）·■的最小值是________.

10. 设点（a，b）在平面区域D={（a，b）a≤1，b≤1}中按均匀分布出现，则椭圆■+■=1（a>b>0）的离心率e<■的概率为________.

11. 下列命题中，正确命题的序号为________.

①经过空间任意一点都可作唯一一个平面与两条已知异面直线平行；

②已知平面α、直线a和直线b，且a∩α=a，b⊥a，，则b⊥α；

③有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；

④三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；

⑤三棱锥的四个面可以都是直角三角形.

12. 对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图2的方式“分裂”；仿此，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为____.

13. 已知点P是直线l：ax+y=1上任意一点，直线l垂直于直线y=x+m，EF是圆M：x2+（y-2）2=1的直径，则■·■ 的最小值为_______.

14. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对于任意的x∈R，f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）=2x. 若方程f（x）=ax恰好有5个不同的解，则实数a的取值范围是_______.

二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. （本小题满分14分）已知向量a=（2cos2x，■），b=（1，sin2x），函数f（x）=a·b，g（x）=b2.

（1）求函数g（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2■，且a>b，求a，b的值.

16. （本小题满分14分）在如图3的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点.

（1）求证：AB∥平面DEG；

（2）求证：BD⊥EG；

（3）求多面体ADBEG的体积.？摇

17. （本小题满分15分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置. 现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置. 设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.

（1）写出g（x），h（x）的解析式；

（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；

（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

18. （本小题满分15分）如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=1.

（1）若过点C1（-1，？摇0）的直线被圆C2截得的弦长为■，求直线的方程；

（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.

①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；

②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.

19. （本小题满分16分）有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列.

（1）证明：dm=p1d1+p2d2（3≤m≤n，p1，p2是m的多项式），并求p1+p2的值；

（2）当d1=1，d2=3时，将数列{dm}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）. 设前m组中所有数之和为（cm）4（cm>0），求数列2■dm■的前n项和Sn.

（3）设N是不超过20的正整数，当n>N时，对于（2）中的Sn，求使得不等式■（Sn-6）>dn成立的所有N的值.

20. （本小题满分16分）已知函数f（x）=ln2（1+x），g（x）=■.

（1）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；

（2）证明不等式ln2（1+x）≤■；

（3）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界. 已知e是无穷数列an=1+■■所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值.

理科附加题部分

（考试时间30分钟，测试总分40分）

21. 选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图5，圆O与圆O1外切于点P，一条外公切线分别切两圆于A，B两点，AC为圆O的直径，T为圆O1上任一点，CT=AC. 求证：CT为圆O1的切线，切点为T.

B. 选修4-2？摇矩阵与变换

已知矩阵A=3 00 4，点M（-1，-1），点N（1，1）.

（1）求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度；

（2）求矩阵A的特征值与特征向量.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的参数方程为x=sinα，y=cos2α，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为ρsinθ+■=-■.

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由.

D. 选修4-5：不等式证明选讲

解不等式：x-1-x+2≤2.

必做题：第22题、23题，每小题10分，共20分.

22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=■， f（n）=S2n，n=1，S2n-S■，n≥2.

（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

23. 如图6所示，某城市有南北街道和东西街道各n+1条，一邮递员从该城市西北角的邮局A出发，送信到东南角B地，要求所走路程最短.

（1）求该邮递员途径C地的概率f（n）；

（2）求证：2<[2f（n）]2n+1<3（n∈N？鄢）.