分类讨论思想

分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来解决原问题的策略.实质上，分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，对发展人的逻辑思维有着重要的帮助.在分类讨论时，需要遵循如下的原则：分类的对象确定，标准统一；不重复，不遗漏；分层次，不越级讨论.下面就让我们通过分析引起分类讨论的原因，结合例题，一起来领略一下分类讨论思想的风采！

■ 由概念引起的分类讨论

某些概念、性质、定理的分类定义会引发分类讨论.常见的有：指数函数、对数函数的底，二次函数的定义，直线斜率和截距的定义，两圆相切的定义，不等式的定义，直线与平面所成的角等.

■ 函数y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大■，则a的值是________.

思路点拨 欲求指数函数y=ax（a>0且a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值，需要先确定底数a与1的大小，所以需要分a>1和0

破解 当a>1时，y=ax在[1，2]上递增，故a2-a=■，得a=■；

当0

故a=■或a=■.

■ 已知圆O1：x2+y2=m（m>0）和圆O2：x2+y2+6x-8y+21=0相切，则实数m的值为_______.

思路点拨 已知两圆相切的位置关系，需要分外切和内切两种情况讨论.

破解 圆O1：x2+y2=m的圆心为O1（0，0），半径为r1=■；

圆O2：x2+y2+6x-8y+21=0的标准方程为（x+3）2+（y-4）2=4，故其圆心为O2（-3，4），半径为r2=2.

故两圆的圆心距为O1O2=5.

进行分类讨论：①若两圆相外切，则O1O2=5=r1+r2=2+■，解得m=9；②若两圆内切，则O1O2=5=r1-r2=■-2，解得m=49.

综上可得，实数m的值为9或49.

■

1. 已知直线l经过P（2，3），且在x，y轴上的截距相等，则直线l的方程为________.

2. 设命题p：函数f（x）=a-■■是R上的减函数；命题q：函数f（x）=x2-4x+3在[0，a]的值域为[-1，3]. 若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围.

■ 由运算要求引起的分类讨论

？摇？摇在一些数学运算（如开偶次方运算，不等式的变形，取对数运算，去绝对值运算，分段函数或数列求值等）中，根据运算要求会引发分类讨论.

■ 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，n为奇数，2n，n为偶数，且数列{an}的前n项和为Sn，求S11，并求Sn的表达式.

思路点拨 由“分段”数列的通项公式可看出所有奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，但注意公差和公比均为4，而并非是2；然后利用分组求和法求和，注意弄清奇数项和偶数项的项数，避免出错.

破解 因为an=2n+1，n为奇数，2n，n为偶数，所以S11=3+22+7+24…+（2×9+1）+210+（2×11+1）=（3+7+…+23）+（22+24+…+210）=■+■=78+1364=1442.

由上面的求解可知，数列{an}的奇数项构成公差为4的等差数列，偶数项构成公比为4的等比数列.

所以当n为偶数时，Sn=（3+7+…+2n-1）+（22+24+…+2n）=■+■=■+■；当n为奇数时，Sn=（3+7+…+2n+1）+（22+24+…+2■）=■+■=■+■. 综上可得：Sn=■+■，n为奇数，■+■，n为偶数.

■

已知数列{an}的前n项和为Sn=32n-n2，求数列{an}的前n项和Pn.

■ 由公式的限制引起的分类讨论

许多数学公式都有一定的限制条件，使得在运用这些公式解题时需要进行分类讨论. 常见的有：等比数列的求和公式中q=1和q≠1的区别，设直线方程时各种直线方程的使用条件，均值不等式的条件，等等.

■ 经过点A（2，-1），且到点B（-1，1）的距离为3的直线的方程为_________.

思路点拨 有些同学可能会直接设所求直线方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0.

由题设，点B（-1，1）到此直线的距离为3，即■=3，解得k=■，于是所求直线的方程为y+1=■（x-2），即5x-12y-22=0. 事实上，直线的点斜式方程只适用于斜率存在的直线，对斜率不存在的情形应单独讨论.

破解 当直线斜率存在时，设所求直线方程为y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0，则由题设，点B（-1，1）到此直线的距离为3，即■=3，解得k=■，于是所求直线的方程为y+1=■（x-2），即5x-12y-22=0.

当直线斜率不存在时，直线方程为x=2，也适合题意. 故本题所求直线方程为x=2或5x-12y-22=0.

■ 求数列{（2n-1）an}的前n项和Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an.

思路点拨 本题属于数列求和问题，表面上看符合错位相减法，但是前提条件是a≠0. 因此，首先需要分a=0和a≠0进行讨论. 而当a≠0时，利用错位相减法求和，又需要分a=1和a≠1进行讨论. 因此，总体上可分a=0，a=1，a≠0且a≠1三种情况讨论.

破解 若a=0，则Sn=0.

若a=1，则Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2.

若a≠0且a≠1时，Sn=a+3a2+5a3+…+（2n-1）an ①；

两边同时乘以a，得：aSn=a2+3a3+5a4+…+（2n-1）a■ ②.

将①式减去②式可得：（1-a）Sn=a+2a2+2a3+2a4+…+2an-（2n-1）a■=■-（2n-1）a■-a. 所以Sn=■-■.

综上可得，当a=0时，Sn=0；当a=1时，Sn=n2；当a≠0且a≠1时，Sn=■-■. 即Sn=n2，a=1，■-■，a≠1.

■

1. 给出定点A（a，0）（a>0）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C. 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

2. 在数列{an}中，已知a1=1，an=■（n≥2），求通项公式an.

■ 由图形的不确定性引起的分类讨论

当图形的位置或形状不确定时，需要进行分类讨论，例如某些函数在不同的区间上有不同的图象特征，某些立体几何不同的展开方式，圆锥曲线的类型或焦点位置不确定，点、线、面的位置不确定等. 解决此类问题时，一定要分析所有可能的位置关系，避免漏解.

■ 离心率为■，且过点A（2，0）的椭圆的标准方程为____.

思路点拨 根据题意，无法确定椭圆焦点所在的位置，所以应该对椭圆焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论.

破解 若椭圆焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为■+■=1（a>b>0），则a=2，再由e=■得c=■，所以b=1，故椭圆的标准方程为■+y2=1.

若椭圆焦点在y轴上，可设椭圆的标准方程为■+■=1（a>b>0），则b=2，再由e=■=■得a=2b=4，故椭圆的标准方程为■+■=1.

故所求椭圆的方程为■+y2=1或■+■=1.

■ 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是________.

思路点拨 欲求圆柱的体积关键是确定圆柱的底面边长和高，由题意需要确定4和2哪个是底面的周长、哪个是高，故需要分类讨论.

破解 若长为4的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V柱=π■■·2=■；若长为2的边作为圆柱底面圆周的展开图，则V■=π■■·4=■. 故圆柱的体积是■或■.

■

1. 已知线段AB在平面α外，A，B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为_______.

2. 求圆锥曲线■+■=1的焦距，其中m≠0，m≠1.

■ 由参数的变化引起的分类讨论

含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对不同的参数值需要不同的求解或证明的方法. 此类问题主要包含：①含参数的不等式的求解；②含参数的方程根的求解；③对于解析式中含有参数的函数，求最值和单调性问题；④一元二次方程表示的曲线问题等.

cc8ebc33de0eb0a7bce750a06d0a7b0ce152b2708c8e1bf287c58a37b8fb2401

■ 解不等式■>0a为常数，a≠-■.

思路点拨 含参数的不等式，参数a决定了2a+1的符号和两根-4a，6a的大小，故对参数a分四种情况a>0，a=0，-■

破解 当2a+1>0时，a>-■；当-4a<6a时，a>0. 所以分以下四种情况讨论：

当a>0时，（x+4a）（x-6a）>0，解得：x<-4a或x>6a；

当a=0时，x2>0，解得：x≠0；

当-■0，解得：x<6a或x>-4a；

当a<-■时，（x+4a）（x-6a）<0，解得：6a

综上所述，当a>0时，x<-4a或x>6a；当a=0时，x≠0；当-■-4a；当a<-■时，6a

■ 已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.

（1）当a=■时，求f（x）的极值；

（2）若f（x）在（-1，1）上是增函数，求实数a的取值范围.

思路点拨 第（1）小题，直接利用f ′（x）=0求出极值点，再结合函数f（x）的单调性求出极值即可.

第（2）小题，已知f（x）在（-1，1）上是增函数，则f ′（x）≥0在区间（-1，1）上恒成立，化为含参数不等式恒成立问题去处理.

破解 （1）f ′（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1），当a=■时，f ′（x）=2（x+2）（x-1）2，所以f（x）在（-∞，-2）内单调递减，在（-2，+∞）内单调递增，所以当x=-2时，f（x）有极小值，所以f（x）的极小值是f（-2）=-12.

（2）因为f（x）在（-1，1）上是增函数，所以f ′（x）=4（x-1）（3ax2+3ax-1）≥0在（-1，1）上恒成立，即3ax2+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立.

①当a=0时，不等式3ax2+3ax-1≤0，即-1≤0，显然成立；

②当a>0时，要使不等式3ax2+3ax-1≤0恒成立，则需3a·12+3a·1-1≤0，解得0

③当a<0时，要使不等式3ax2+3ax-1≤0恒成立，则需-■a-1≤0恒成立，解得-■≤a<0.

综上可得，实数a的取值范围为-■，■.

■

1. 解关于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0.

2. 已知函数f（x）=ax3-■x2+1（x∈R），其中a>0.

（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）若在区间-■，■上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

■ 由实际应用问题引发的分类讨论

很多实际应用问题需要根据实际情况进行分类讨论，如排列组合问题、概率统计问题、实际应用题等.

■ 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）

A. 60种 B. 63种

C. 65种 D. 66种

思路点拨 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确. 本题可以根据取出的4个数中偶数和奇数的个数进行分类讨论.

破解 从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即C■■=5种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即C■■C■■=60种方法；第三类是取四个奇数，即C■■=1种方法. 故有5+60+1=66种方法，选D.

■

1. 有4个标号为1，2，3，4的红球和4个标号为1，2，3，4的白球，从这8个球中任取4个球排成一排. 若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是________.

2. 2010年云南遭受历史罕见的旱灾后，本省各市纷纷采用价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某城市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+排污费，若每月水量不超过最低限量a m3时，只付基本费8元和每户每月定额排污费c元；若用水量超过a m3时，除了付给同上的基本费和排污费外，超过部分每立方米付b元的超额费. 已知每户每月的排污费不超过4元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：

■

根据以上规定，解决如下问题：

（1）求每户每月水费y（元）与月用水量x m3的函数关系式；

（2）试分析该家庭一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求a，b，c的值.

■ 参考答案

1 由概念引起的分类讨论

1. 当截距不为0时，设直线方程为■+■=1，又过P（2，3），所以■+■=1，求得a=5，所以直线方程为x+y-5=0. 当截距为0时，即直线过（0，0）时，此时斜率为k=■=■，所以直线方程为y=■x. 综上可得，所求直线方程为x+y-5=0或y=■x.

2. 若p为真，则04，解得■

综上可得，实数a的取值范围是■

2 由运算要求引起的分类讨论

an=Sn-Sn-1=33-2n（n≥2），又a1=S1=31，所以an=33-2n（n≥1）.

当n≤16时，an>0，当n≥17时，an<0. 所以当n≤16时，Pn=a1+a2+…+an=Sn=32n-n2；

而当n≥17时，Pn=（a1+a2+…+a16）-（a17+a18+…+an）=S16-（Sn-S16）=2S16-Sn=2（32×16-162）-（32n-n2）=512-32n+n2.

综上，Pn=32n-n2，1≤n≤16，512-32n+n2，n≥17.

3 由公式的限制引起的分类讨论

1. 依题意，记B（-1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx. 设点C（x，y），则有0≤xHxPd5qDaiHLypkerH///2oJ27j8fgVRjuOqnI4AEVHw=得y=■ ①.

依题设点C在直线AB上，故有y= -■（x-a）. 由x-a≠0，得b=-■ ②.

将②式代入①式，得y2[（1-a）x2-2ax+（1+a）y2]=0.

若y≠0，则（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0

若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0），满足上式.

综上，得点C的轨迹方程为（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0

（i）当a=1时，轨迹方程化为y2=x（0≤x<1） ③，此时方程③表示抛物线弧段.

（ii）当a≠1，轨迹方程化为

■+■=1（0≤x

所以当0

当a>1时，方程④表示双曲线一支的弧段.

2. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=■，所以2SnSn-1=-Sn+Sn-1. 两边同除以SnSn-1，得■-■=2（n≥2）. 又a1=S1=1，则■=1. 所以数列■是以1为首项，2为公差的等差数列. 故■=1+（n-1）·2=2n-1，Sn=■. an=Sn-Sn-1=■-■=-■. 又当n=1时，a1=S1=1，显然不适合上式. 所以综上可得an的通项公式为an=1，n=1，-■，n≥2.

4 由图形的不确定性引起的分类讨论

1. 分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案为1或2.

2. 当m<0时，方程表示双曲线■-■=1，其中a2=m2，b2=-m，所以c2=m2-m. 故该圆锥曲线的焦距为2■.

当m>0时，该圆锥曲线表示椭圆，但有的同学直接就认为焦点在x轴上了，这其实是错误的. 因为m2和m的大小还没有确定，所以焦点到底在哪个轴也不能确定，因此我们还得比较m2和m的大小，才能下结论.

当m>0且m≠1时，方程表示椭圆. 若m2m，即m∈（1，+∞）时，方程表示焦点在x轴的椭圆，此时a2=m2，b2=m，所以c2=m2-m. 故该圆锥曲线的焦距为2■.

5 由参数的变化引起的分类讨论

1. 当a=0时，原不等式化为-x+1<0，所以x>1；当a≠0时，原不等式化为a（x-1）x-■<0. 若a<0，则原不等式化为（x-1）x-■>0，因为a<0，所以■<1. 所以不等式的解为x<■或x>1. 若a>0，则原不等式化为（x-1）x-■<0，当a>1时，不等式的解为■1，不等式的解为11？摇；当a=0时，解集为{xx>1}；当01时，解集为x■

2. （1）当a=1时， f（x）=x3-■x2+1，所以f（2）=3且f ′（x）=3x2-3x，所以f ′（2）=6，所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3= 6（x-2），即y=6x-9.

（2）f ′（x）=3ax2-3x=3axx-■，令f ′（x）=0，解得x=0或x=■. 以下分两种情况讨论：

①若0

■

当x∈-■，■时， f（x）>0等价于 f-■>0， f■>0，解不等式组得得-5

②若a>2，则0<■<■，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

■

当x∈-■，■时， f（x）>0等价于 f-■>0， f■>0，解不等式组得■

综合①和②，可知a的取值范围为0

6 由实际应用问题引发的分类讨论

1. 若取出的球的标号为1，2，3， 4，则共有C12C12C12C12A44=384种不同的排法；若取出的球的标号为1，1，4， 4，则共有A44=24种不同的排法；若取出的球的标号为2，2，3，3，则共有A44=24种不同的排法. 由此可得取出的4个球数字之和为10的不同排法种数是384+24+24=432.

2. （1）根据题意可知水费与用水量是一个分段函数的关系式，设每月用水量为x m3，支付费用为y元，则y=8+c，0≤x≤a，8+b（x-a）+c，x>a.

（2）由题意知0a，将x=8，y=9代入y=8+2（x-a）+c中，得9=8+2（8-a）+c，得2a=c+15，显然与前面的等式矛盾，所以一月份用水量不超过最低限量. 又因为y=8+c，所以9=8+c，c=1. 所以a=10，b=2，c=1. ■