数形结合思想

数与形是数学发展中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观具体，以便于探求解题思路或找到问题的结论.可见数形结合，不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法.

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为以下两种情形：第一，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；第二，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”.

■ 以数解形

当我们探究几何问题的解题思路受阻，或虽有办法但很艰难时，我们常常考虑能否将其转化为代数问题，而转化的常用方法是解析法即建立坐标系；还可引进复平面用复数的有关知识解决，综合使用三角法、向量法等代数方法，常可得到简洁的解法. 其典型代表是在立体几何与解析几何中的应用.

■ 如图1，四边形ABCD内接于圆E，E为圆心，AC⊥BD，AC，BD交于点O，G为CD边上的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：OG=EF.

■

图1

思路点拨 本题用几何的方法证明不易，可考虑用解析法，适当建立坐标系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 由于“数”具有精确性的特征，所以巧妙利用这一性质就可以阐明“形”的某些属性，从而准确澄清“形”的模糊，使问题得以解决.

破解 以两条对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图2.

设点A，B，C，D的坐标分别为（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）. 由F，G分别为AB，CD的中点，知F-■，-■，G■，■.

■

图2

又E同时在AC，BDlSes6GrLmCqH6ZV/SWBSuA==的垂直平分线上，所以E■，■.

由两点间的距离公式可得EF=OG=■.

■ 如图3，已知平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10.

■

图3

（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；

（2）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.

思路点拨 用空间向量法解立体几何问题的一般步骤：

（1）建立合理的空间直角坐标系.

①当图形中有三条两两垂直且共点的直线时，通常分别以这三条直线为坐标轴建立坐标系.

②当图形中没有现成的两两垂直的三条直线时，可根据实际情况构造出满足条件的三条直线，如图形中有直线与平面垂直时，可选择这条直线与这个平面的两条互相垂直的直线为坐标轴.

（2）求出相关点的坐标. 求出图形中与题目条件和结论相关的所有点的坐标.

（3）求出相关平面的一个法向量. 所有与平面相关的问题都是通过它的一个法向量来实现的.

（4）通过合理运算得到所需结论.

破解 连结PO，由题意可得OB，OC，OP两两垂直. 如图4，以O为原点，射线OB，OC，OP为坐标轴的正半轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（8，0，0），A（0，-8，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），G（0，4，0）.

■

图4

（1）■=（4，-4，3），■=（0，-4，3），■=（8，0，0）.

设n=（a，b，1）是平面BOE的一个法向量，则n·■=8a=0及n·■=-4b+3=0，所以a=0，b=■，n=0，■，1，所以n·■=0.

直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.

（2）设△ABO内满足条件的点M的坐标为M（x，y，0），则■=（x-4，y，-3），由于FM⊥平面BOE，由■·■=0，■·■=0得-4y+3×（-3）=0，8（x-4）=0，即x=4，y=-■. 所以在△ABO内存在点M4，-■使FM⊥平面BOE.

■ 已知m>1，直线l：x-my-■=0，椭圆C：■+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H. 若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

■

图5

思路点拨 题设所描述的语言都非常形象直观，同学们很容易就能画出对应的图形，但是要求出实数m的范围，却不是靠看图就能看出来的，这需要我们把图形语言转换成代数语言，然后通过严谨的代数运算来求得m的精确范围.

破解 不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），由于F1（-c，0），F2（c，0），则重心G的坐标为■，■，重心H的坐标为■，■，则GH2=■+■. 设M是GH的中点，则M■，■.

由题知原点O在以线段GH为直径的圆内，我们可将此“形”的信息翻译为“数”的不等式：2MO

即可得4■■+■■<■+■，也即x1x2+y1y2<0（？鄢）.

从（？鄢）式我们联想到了韦达定理，于是联立方程x=my+■，■+y2=1，消去x得2y2+my+■-1=0. 因为Δ=m2-8■-1=-m2+8>0，解得m2<8，且有y■+y■=-■，y■y■=■-■，所以x1x2+y1y2=my1+■my2+■+y1y2=（m2+1）■-■.

将其代入（？鄢）式得■-■<0，解得m2<4. 又因为m>1且Δ>0，所以1

■

1.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为（ ）

■

图6

A. τ1>τ4>τ3 B. τ3>τ1>τ2

C. τ4>τ2>τ3 D. τ3>τ4>τ1

2. 如图7，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.

■

图7

（1）证明：AP⊥BC.

（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

3. 如图8，过椭圆■+■=1的右焦点M任作一条直线l与椭圆相交于A，B两点，设N（2■，0），连结AN，BN. 求证：∠ANM=∠BNM.

■

图8

■ 以形解数

由于图形具有生动性和直观性的特点，恰当地利用图形就能使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题灵活、简洁、准确地获解.说白了，就是将代数问题转化为几何问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系转化为图形的性质来研究，思路与方法便在图形中直观显示出来，不仅可以加深对数量关系的理解，而且还能简化运算过程，起到事半功倍的效果.

1. 利用图形研究方程或不等式的解

解方程或不等式时，如果方程或不等式两边表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系直接在图形中得以直观形象地展现. 美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题，可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”

■ 解不等式3x-2+3x+1≤6（x∈R）.

思路点拨 本题如果直接解不等式，需要进行分类讨论，而考虑几何意义，其解法极为简洁.

破解 设z=3x，则在数轴上z-2+z+1≤6的图形是以■为中点，长度为6的一条线段，两端点分别为-■，■，所以-■≤3x≤■，即原不等式的解集为-■，■.

■ 解关于x的不等式■≥a-x.

思路点拨 本题若试图化无理不等式为有理不等式，可能会有很多同学弄不清分类的标准；而若能转变思路，运用数形结合的思想则可以帮助我们明确分类标准，从而简化讨论.

破解 在同一平面直角坐标系中画出函数y=■和y=a-x的图象，即一个半圆（x-1）2+y2=4（y≥0）和一条直线（如图9）.

■

图9

a为直线在y轴上的截距，直线和半圆相切时，算得a=1+2■，根据直线与半圆的交点情况，结合a的取值范围，得

①当a≤-1时，有-1≤x≤3.

②当-1

③当3

④当a>1+2■时，不等式无解.

■ 若已知关于x的方程■=kx+2只有一个实数根，则k的取值范围为（ ）

A. k=0

B. k=0或k>1

C. k>1或k<-1

D. k=0或k>1或k<-1

思路点拨 本题用代数知识求解，不仅复杂、烦琐，而且很容易出错，结果是花费了大量的时间和精力，仍然无法得出正确答案. 充分利用方程两边式子所具有的几何意义，结合图形，答案便一目了然.

破解 关于x的方程■=kx+2只有一个实数根，等价于函数y=■，y=kx+2的图象只有一个公共点，作出函数图象，如图10. 由图象可知，直线与半圆只有一个公共点时，k=0或k>1或k<-1，故选D.

■

图10

■ 方程x2+■x-1=0的解可视为函数y=x+■的图象与函数y=■的图象交点的横坐标. 若方程x4+ax-4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点x1，■（i=1，2，…k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.

思路点拨 根据题中条件自然想到把方程x4+ax-4=0变形为x3+a=■，从而把问题转化为函数y=x3+a与函数y=■的图象交点的横坐标，再利用图象求解.

■

图11

破解 方程x4+ax-4=0的各个实根可视为函数y=x3+a和函数y=■的图象交点的横坐标. 在同一坐标系内，画出y=x，y=■，y=x3+a的图象，如图11所示，A（2，2），B（-2，-2）.

当y=x3+a的图象分别过B，A时，a等于6和-6. 由图象上、下平移可知，当a<-6或a>6时交点均在直线y=x的同侧.

■

1. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时， f（x）=x，则函数y=f（x）-log4x的零点个数为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. 函数y=■的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于_______.

3. 若关于x的不等式x2<2-x-a至少有一个负数解，则实数a的取值范围是_______.

2. 利用图形求最值（值域）

数学问题中一些最值（值域）问题，若数量关系可赋予几何意义的，考虑采用数形结合的方法，常可凭借特殊位置、图形性质等直观的优势而简洁求解.

■ 求函数y=■的值域.

思路点拨 求解此题的常规方法是将其变形为2y=sinx-ycosx，然后将等式右边合成一个三角函数，再利用三角函数的有界性求得y的取值范围. 除此之外，我们也可用数形结合的思想求解.

破解 由已知，原函数可变形为y=■，其几何含义是过点A（cosx，sinx）和B（-2，0）的直线的斜率，而A是单位圆x2+y2=1上的动点.

■

图12

由图12可知，当过B（-2，0）作圆的切线时，直线AB的斜率到达最大或最小.容易算得ymax=■，ymin= -■，所以y∈-■，■.

■ 求函数y=■+■的最大值.

思路点拨 本题易想到的是用换元法去掉根式，得y=u+v，注意到根式中两式的关系得新元的关系式，此关系式具有明显的几何意义.

破解 令u=■（u≥0），v=■（v≥0），则y=u+v.

由5-2x=u2，x-2=v2，■得u2+2v2=1，且u≥0，v≥0. 问题转化为求直线y=u+v与椭圆u2+2v2=1有公共点时，直线的纵截距y的最大值.

由图13可知，当直线与椭圆相切时，相应的纵截距最大，此时y=■，故函数y的最大值为■.

■

图13

注：数学中的最值问题是比较常见的，有的最值问题若用一般的方法很难奏效，这种情况下可根据数学问题中的条件或结论，构造出相应的图形来“帮忙”，利用图形的特征来优化解题过程，从而使问题迎刃而解.

■

1. 求函数f（x）=■（0≤x≤π）的值域.

2. 求函数f（x）=■+■的值域.

3. 函数f（x）=■（0≤x≤2π）的值域为______.

3. 数形渗透

数形结合的思想方法，不仅是几何问题用代数方法思考，或是代数（包括三角）问题由图形去思考，而是密切联系，相互渗透的统一整体.解题时尤其是解较为综合的题目，请注意灵活使用.

■ 已知向量a≠e，e=1满足对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（ ）

A. a⊥e B. a⊥（a-e）

C. e⊥（a-e） D. （a+e）⊥（a-e）

思路点拨 此题如果用代数方法强行演算的话，虽然也能得到答案，但是运算“成本”太大，而且复杂的代数运算也会增加出错的概率. 考虑到这是一道选择题，不需要详细的推导过程，因此我们不妨“投机取巧”，利用向量的几何意义，缩短“战线”.

破解 我们首先画出向量a和向量e，然后再画出与向量e共线的向量te，这样，根据向量的减法法则，我们可以得到向量a-e和向量a-te. 因为a-te≥a-e对任意的t恒成立，所以向量a-e是所有形如a-te的向量中模长最短的，这说明向量a-e必定非常特殊. 事实上，a-e与向量e是垂直的，即有e⊥（a-e），故选C.

■ 若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m=______.

思路点拨 这是个线性规划问题，常规的方法是通过画出约束条件所表示的几何图形来解决，但是约束条件x-my+1≥0中含有字母m，这就使得其图象不能准确地被画出，该怎么办呢？仔细观察后我们发现，直线x-my+1=0必过定点（-1，0），但是仍无法确定此直线的倾斜程度，因此确定直线的倾斜程度就成为解决此题的突破口.

破解 不妨设z=x+y，则y=-x+z， 结合图象知，当直线x-my+1=0绕着（-1，0）旋转的时候，只有当斜率■∈（0，2）时，才能让函数y=-x+z的截距能取到最大值，如图14所示.

我们发现，当目标函数y=-x+z经过点A时，z取到最大值9.

联立直线y=-x+9，2x-y-3=0，解得A（4，5），代入x-my+1=0中，得m=1.

■

图14

■

1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则■·■=_______.

2. 已知动点P（a，b）在不等式组x+y-2≤0，x-y≥0，y≥0表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=■的取值范围是__________.

3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

■ 参考答案

1 以数解形

1. 准确理解区域“直径”“周率”概念的含义是求解本题的突破口.

第一个区域：先补成一个长方形，如图15甲所示，设长为a，宽为b，则周率τ1=■=■≤2■. 第二个区域：设大圆半径为2，则周率τ2=■=π. 第三个区域：将原图补成一个三角形，如图15乙所示，设边长为a，则周率τ3=■=3. 第四个区域：如图15丙所示，设此区域外接正六边形边长为a，则周率τ4=■=2■，故选C.

■

甲 乙 丙

图15

2. （1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因PO⊥平面ABC，因此PO⊥BC，所以BC⊥平面POA，则AP⊥BC.

（2）不妨以AD所在直线为y轴，OP为z轴，O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图16所示，则由题意得O（0，0，0），A（0，-3，0），D（0，2，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）. 设■=λ■，■=（0，3，4）.

■

图16

设平面AMC的法向量为n1=（x1，y1，z1），■=（-4，5，0），■=（0，3λ，4λ）. 因为n1·■=0，n1·■=0，所以-4x1+5y1=0，3λy1+4λz1=0，则n1=（5，4，-3）.

设平面BMC的法向量为n2=（x2，y2，z2），■=（8，0，0），■=■+■=（-4，-5，0）+（0，3λ，4λ）=（-4，-5+3λ，4λ）.

因为n2·■=0，n2·■=0，所以x2=0，-4x2+（-5+3λ）y2+4λz2=0，则可得n2=（0，4λ，5-3λ）. 若二面角A-MC-B为直二面角，则16λ-3（5-3λ）=0，得λ=■，此时AM=λAP=■×5=3.

3. 易得M（■，0），所以可设直线AB的方程为x=ty+■，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=ty1+■，x2=ty2+■. 把x=ty+■代入椭圆方程x2+2y2-4=0可得（t2+2）y2+2■ty-2=0，所以y■+y■=■，y■y■=■. 所以直线AN的斜率kNA=■=■，直线BN的斜率kNB=■=■，所以由此得kNA+kNB=■+■=■[2ty■y■-■·（y■+y■）]=■·2t■-■■=0，所以直线AN和BN的倾斜角互补，即∠ANM=∠BNM成立.

2 以形解数

1. 利用图形研究方程或不等式的解

1. 偶函数f（x）的周期为2，且x∈[0，1]时，f（x）=x，作出函数f（x）的部分图象如图17所示，而函数y=f（x）-log■x的零点即为函数y=f（x）与y=log■x的图象的交点横坐标. 由图象可知，交点有6个，故函数y=f（x）-log■x的零点有6个，故选D.

■

图17

2. 由题意知y=■=■的图象是双曲线，且关于点（1，0）成中心对称. 又y=2sinπx的周期为T=■=2，也关于点（1，0）成中心对称，因此两图象的交点也一定关于点（1，0）成中心对称，如图18所示. 可知两个图象在[-2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x1+x2+…+x8=2×4=8.

■

图18

3. 不等式x2<2-x-a至少有一个负数解，即x-a<2-x2有负数解. 在同一坐标系中作出函数y=x-a和y=2-x2的图象，如图19所示. 当y=x-a与y=2-x2相切时，求得a=-■，将y=x-a右移到图中位置时，不等式刚好无负数解，此时a=2，所以实数a的取值范围是-■，2.

■

图19

2. 利用图形求最值（值域）

1. f（x）的几何意义是单位圆上的部分点（cosx，sinx）（-1≤cosx≤1，0≤sinx≤1）与点（4，2■）确定的直线斜率，如图20所示，得k■=■，kPA=■，所以函数f（x）的值域为■，■.

■

图20

2. 令u=■，v=■，则u2+v2=2（u≥0，v≥0）.

它表示以原点为圆心，■为半径的一段圆弧（在第一象限内）. 又y=f（x）=■u+v，即v=-■u+y. 所以函数y的值域可以看成直线v=-■u+y与这段圆弧有交点时，直线在v轴上截距的取值范围. 结合图21，易知此取值范围为[■，■]，故所求函数f（x）的值域为[■，■].

■

图21

3. 当x=■时， f（x）=0；当x≠■时，可知f（x）=■= -■= -■.

其中■表示单位圆上的点P（sinx，cosx）与点Q（1，1）连线的斜率.

如图22所示：■∈[0，+∞），则f（x）∈[-1，0）. 综上，f（x）∈[-1，0].

■

图22

3. 数形渗透

1. 建立如图23所示的坐标系，则A（0，0），B（-1，■），C（1，0），设点D的坐标为（x，y），则■=（x+1，y-■），■=（1-x，-y）.

■

图23

因为D是边BC上一点，DC=2BD，所以1-x=2x+2，-y=2y-2■，解得x=-■，y=■.

所以■=-■，■，■=（2，-■），所以■·■=-■.

2. w=■=1+■=1+k，k为定点（1，2）与可行域上动点连线的斜率，由数形结合得斜率k的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞），所以w的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）.

3. 由题意得2a1+3d≥5，a1+2d≤3，a4=a1+3d，则问题转化为：已知实数x，y满足约束条件2x+3y≥5，x+2y≤3，求z=x+3y的最大值.

作出约束条件2x+3y≥5，x+2y≤3对应的平面区域（如图24），将目标函数z=x+3y变形为y=-■x+■，它表示斜率为-■，在y轴上的截距为■的直线. 平移直线y=-■x+■，当直线经过点A（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，对应的z最大，此时，zmax=1+3=4，所以a4的最大值为4. ■

■

图24