转化与化归思想

大家都熟悉曹冲称象的故事，把大象的重量转化为石头的重量以称出大象的重量.两千多年前，幼小的曹冲就有这样惊人的智慧，怎不叫人称赞.这个故事启发我们在现实生活中遇事要多动脑筋，经常锻炼自己的思维能力，使人变得越来越聪明.同时它也体现了数学中的一种重要的数学思想方法——转化与化归.

解题常用的转化策略有：正与反的转化、空间与平面的转化、命题之间的转化、常量与变量的转化、数与形的转化、函数与方程的转化等.因此，有关转化与化归的数学命题在高考试题中占有重要位置.

■ 等价转化

在数学中，存在着许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程.

■ 若数列{an}满足■-■=d（n∈N？鄢，d∈R），则称数列{an}为调和数列. 已知数列■为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x5+x16=_______.

思路点拨 本题为新定义题，但也不要被表象所迷惑，透过现象看本质，转化为我们熟悉的数列再做进一步破解. 注意此题中角色的变化，由数列■为调和数列，得到数列{xn}为等差数列是解题的关键.根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此就可以转化，然后利用等差数列的性质即可求解.

破解 已知数列{an}为调和数列，则■-■=d（n∈N？鄢，d∈R），也就是数列■为等差数列；现在数列■为调和数列，则数列{xn}为等差数列，那么由x1+x2+…+x20=200，根据等差数列的性质可得x1+x2+…+x20=10（x5+x16）=200，所以x5+x16=20.

■ 已知函数f（x）=2x，等差数列{an}的公差为2. 若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log■[f（a1）·f（a2）·f（a3）·… ·f（a10）]=________.

思路点拨 仔细分析题目，由题目中的已知条件很容易求得a2+a4+a6+a8+a10的值，而所求log■[f（a1）·f（a2）·f（a3）·…·f（a10）]可以转化为等差数列{an}的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用a2+a4+a6+a8+a10表示出来，从而求解.

破解 由f（x）=2x和f（a2+a4+a6+a8+a10）=4知a2+a4+a6+a8+a10=2，log■[f（a1）·f（a2）·f（a3）·…·f（a10）]=log■f（a1）+log■f（a2）+…·+log■f（a10）=a1+a2+a3+…+a10=2（a2+a4+a6+a8+a10）-5×2=-6.

本题将所求对数值的运算转化为数列的相关计算，大大地节省了时间，提高了做题的效率. 再则，把等差数列{an}的前10项之和转化为用a2+a4+a6+a8+a10表示出来，减少了计算量.

■

？摇1. 若关于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在区间[0，π]上有两个不同的解，则实数a的取值范围是_______.

2. 函数f（x）=■+■的最小值为_______.

■ 正与反的转化

如果一个命题从正面解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手来解决. 如证明命题的唯一性、无理性，或所给的命题以否定形式出现（如不存在、不相交等），并伴有“至少”“不都”“都不”“没有”等指示性词语时，均可考虑用反证法的思想来实现转化. 反证法是数学解题中逆向思维的直接体现.

■ 已知0

思路点拨 题目对f（f（x0））的性质给出太少，直接证明所给命题有困难，所以可以考虑其反面情况，用反证法来证明. 增加反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了条件. 但是反设中有两种情况，必须逐一否定，否则证明便不完整.

破解 假设f（x0）≠x0，则必有f（x0）>x0或f（x0）x0≥1，由f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（f（x0））>f（x0），又f（f（x0））=x0，所以x0>f（x0），与假设矛盾；若x0>f（x0）≥1，则f（x0）>f（f（x0）），又f（f（x0））=x0，所以f（x0）>x0也与假设矛盾.综上所述，当x0≥1，f（x0）≥1且f（f（x0））=x0时，有f（x0）=x0.

■ 设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，证明：数列{cn}不是等比数列.

思路点拨 观察到命题的结论呈否定形式，故可考虑用反证法来证明.在用反证法时，要做到以下几点：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论. 利用反证法引出矛盾的结论，从而说明假设错误，肯定原命题成立.

破解 设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn=an+bn. 假设{cn}是等比数列，则只需证明c■■=c1·c3. 由于c■■=（a1p+b1q）2=a■■p2+b■■q2+2a1b1pq，而c1·c3=（a1+b1）（a1p2+b1q2）=a■■p2+b■■q2+a1b1·（p2+q2），从而需证明2a1b1pq=a1b1（p2+q2）. 而a1b1≠0，故需证明p2+q2=2pq，即p=q，这与已知p≠q相矛盾. 因此假设不成立，故{cn}不是等比数列.

■

1. 已知函数f（x）=4x2-ax+1在（0，1）内至少有一个零点，则实数a的取值范围是________.

2. 试求常数m的值，使曲线y=x2的所有的弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分.

■ 数与形的转化

数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想，其实质就是把抽象的数量关系和直观的图形结合起来，从而降低原命题的难度，使问题更容易得到解决.

■ 若不等式■≤k（x+1）的解集为区间[a，b]，且b-a=1，则k=______.

思路点拨 如果直接解不等式，那么计算过程会比较麻烦；而如果把原不等式的两边分别看做两个不同的函数（直线y=k（x+1）和半圆y=■），按照不等式中的大小关系，那么可将原不等式看做函数图象的上下问题. 从而对照直线y=k（x+1）的图象在半圆y=■之上且区间长度为1时，即可求得k的值.

■

图1

破解 如图1，由数形结合，直线y=k（x+1）过定点（-1，0），当直线y=k（x+1）的斜率k<0时b-a<1，不能保证b-a=1；当直线y=k（x+1）的斜率k>0时，半圆y=■的右边部分必在直线的下方，则必有b=2，且b-a=1，那么只能a=1. 所以直线y=k（x+1）过点（1，■），则k=■.

■ 已知不等式（2x-1）2

思路点拨？摇 如果本题从不等式的角度去考虑求解，过程将比较烦琐. 如果画出函数f（x）=（2x-1）2，g（x）=ax2（a>0）的大致图象（如图2所示），通过数形结合，把所求不等式中字母a的问题，化归为两个二次函数在几个关键值处的大小问题，则来得相对简便. 从图象上可以看到，要使不等式成立，必须a>0，而且满足不等式（2x-1）2

■

图2

破解 由图可得f（3）

■

1. 当0≤x≤1时，不等式sin■≥kx成立，则实数k的取值范围是_？摇__.

2. 设对于任意实数x∈[-2，2]，函数f（x）=lg（3a-ax-x2）总有意义，则实数a的取值范围是__________.

■ 函数与方程的转化

函数与方程的思想是求数量关系的主要思想方法.一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程（组）（包括不等式（组）），则一般可使问题得到解答.

■ 若已知方程■sinx+cosx=a在x∈[0，2π]上有两个不同的实数解x1，x2，求a的取值范围，以及此时x1+x2的值.

思路点拨 利用方程的思想，a的取值范围即为函数y=■sinx+cosx在x∈[0，2π]的图象与直线y=a有两个交点时的范围.因此，可采用数形结合的方法求解.

破解 设f（x）=■sinx+cosx=2sinx+■，x∈[0，2π]，令t=x+■，则y=2sint，且t∈■，■π. 在同一坐标系中作出y=2sint与y=a的图象（如图3）. 从图象上可看出，当1

■

图3

综上所述，a的取值范围是（-2，1）∪（1，2）. 当a∈（1，2）时，x1+x2=■；当a∈（-2，1）时，x1+x2=■.

■

1. 若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）-g（x）=ex，则有（ ）

A. f（2）

B. g（0）

C. f（2）

D. g（0）

2. 设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=c，这时，a的取值集合为_______.

■ 空间与平面的转化

■ 如图4，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上.过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N. 设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）

■

图4

■

A B

■

C D

思路点拨 本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由MN与平面BB1D1D垂直，可以把MN向平面ABCD内作正投影，保持其长度不变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成求解.

破解 设正方体的棱长为a，由图形的对称性知P点始终是MN的中点，而且随着P点从B点向BD1的中点滑动，y值逐渐增大到最大；再由中点向D1点滑动，而逐渐变小，排除A，C. 把MN向平面ABCD内正投影得M′N′，P向平面ABCD内正投影得P′，则M′N′=MN=y. 由于■=■=■=■（此处设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a），所以BP′=■x，所以当x≤■a时，MN=y=2BP′=■x为一次函数，故选B.

■

？摇一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V1，圆柱的体积为V2，且V1=kV2，则kmin=_________.

■ 变量与常量的转化

在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元. 由于思维定式的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的，但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.

■ 设y=（log■x）2+（t-2）·log■x-t+1，若t在[-2，2]上变化时，y恒取正值，求x的取值范围.

思路点拨 本题中，如果把y看做x的函数，则该题就是一个有限制条件的定义域问题，解法较为复杂.由于t在[-2，2]上变化，所以如果转换思维角度，把y看做t的函数，则y就是关于t的一次函数或常数函数. 原命题转变为“关于t的函数y，当自变量t在[-2，2]上变化时，y恒大于零，求字母x的取值范围”，这样解起来就比较便捷了.

破解 设y=f（t）=（log■x-1）t+（log■x）2-2log■x+1，则f（t）为一次函数或常数函数.

当t∈[-2，2]时，f（x）>0恒成立，则f（-2）>0，f（2）>0，即（log2x）2-4log■x+3>0，（log2x）2-1>0，解得log■x<-1或log■x>3. 所以08，所以x的取值范围是0，■∪（8，+∞）.

■

已知函数f（x）=x2+ax+1，当a∈[0，2]时，f（x）>0恒成立，求实数x的取值范围.

■ 抽象与具体的转化

在解一些函数问题时，如果没有具体的函数解析式，不能套用函数的性质，那么要想办法把抽象问题具体化，得到该函数能具有哪些性质，以用来解决问题.

■ 设f（x）定义在实数集R上，当x>0时，f（x）>1，且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）·f（y），同时f（1）=2，解不等式f（3x-x2）>4.

思路点拨 由于指数函数有类似f（x+y）=f（x）·f（y）的性质a■=ax·ay，所以猜想模型函数为f（x）=ax（a>0，a≠1）. 由f（2）=f（1+1）=f（1）·f（1）=4，则将不等式化为f（3x-x2）>f（2），只要证明了f（x）的单调性，利用函数单调性解出不等式即可.

破解 由f（x+y）=f（x）·f（y）中取x=y=0，得f（0）=f（0）2. 若f（0）=0，则令x>0，y=0，则f（x）=0，与x>0时，f（x）>1矛盾. 所以f（0）=1.

当x>0时，f（x）>1>0；当x<0时，-x>0，f（-x）>1>0，而f（x）·f（-x）=1，所以f（x）=■>Nu50DbryZ3ltFKJ85pFHtw==0. 又f（0）=1，所以x∈R，f（x）>0.

设x1，x2∈R且x10， f（x2-x1）>1，f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]-f（x1）=f（x1）f（x2-x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0.所以y=f（x）在R上为单调增函数.

又f（1）=2，所以f（3x-x2）>f（1）·f（1）=f（1+1）=f（2）.

由f（x）的单调性可得3x-x2>2，解得1

■

1. 设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立，则f（x）=_______.

2. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1，则函数f（x）在区间[-2，0]上的反函数f -1（x）的值f -1（19）等于_______.

■ 换元的转化

对结构较为复杂，量与量之间的关系不甚明了的命题，通过适当的引入新变量（换元），往往可以简化原有结构，使其转化为便于研究的形式. 常用的换元法有代数代换、三角代换、整体代换等. 在应用换元法时要特别注意新变量的取值范围，即代换的等价性.

■ 已知实数x，y满足■+■=1，若x+y-k>0恒成立，求k的取值范围.

思路点拨 由已知条件■+■=1，可以发现它与a2+b2=1有相似之处，于是实施三角换元.

破解 由■+■=1，设■=cosθ，■=sinθ，

即x=1+3cosθ，y=-1+4sinθ，代入不等式x+y-k>0得3cosθ+4sinθ-k>0，即k<3cosθ+4sinθ=5sin（θ+φ）. 所以k<-5时不等式恒成立.

利用三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数取值范围.

一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”.

■ 已知a∈R，求函数y=（a-sinx）（a-cosx）的最小值.

思路点拨？摇 把函数y=（a-sinx）·（a-cosx）展开后，可以观察到该函数是关于sinx·cosx与sinx+cosx的三角函数式，因此可以把sinx+cosx看做一个量，把该问题转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题.

破解 设t=sinx+cosx，则t=■·sinx+■，其中t∈[-■，■]. 而sinx·cosx=■[（sinx+cosx）2-1]=■·（t2-1），所以y=f（t）=a2-a（sinx+cosx）+sinx·cosx=a2-at+■（t2-1）=■t2-at+a2-■=■（t-a）2+■a2-■，t∈[-■，■].

①若-■≤a≤■时，当t=a，f（t）min=■a2-■；

②若a>■时，f（t）在[-■，■]上单调递减，f（t）min=f（■）=a2-■a+■；

③若a<-■，f（t）在[-■，■]上单调递增，f（t）min=f（-■）=a2+■a+■.

■

设a为实数，若记函数f（x）=a■+■+■的最大值为g（a），求g（a）.

■ 分离变量的转化

在题中若要求一个参数的取值范围，通常把该参数分离出来单独放在一边，而只求剩下的式子的最值问题.

■ 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈0，■成立，则a的最小值为________.

思路点拨 要求a的最小值，需要求出a的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较烦琐；若把字母a单独分离出来，放于不等式的一边，则另一边是关于x的函数关系式.通过求函数式的值域或取值范围，可以求得字母a的取值范围.

破解 因为x∈0，■，所以可以把不等式x2+ax+1≥0化为a≥ -x+■. 设f（x）=x+■，x∈0，■. 因为f（x）=x+■在x∈0，■上单调递减，所以f（x）≥■，？摇-x+■≤ -■. 要使不等式a≥-x+■对一切x∈0，■成立，则a≥-■，所以a的最小值为-■.

■

设函数f（x）=x2-1，对任意x∈■，+∞，f■-4m2f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是_____.

■ 构造法的转化

为了解决某些较为复杂的数学问题，通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、方程、函数、模型等，以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，叫做构造法. 它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想.

■ 已知x，y∈R，且2x+3y>2-y+3-x，那么（ ）

A. x+y<0 B. x+y>0

C. x·y<0 D. x·y>0

思路点拨？摇 已知不等式两边都含有x，y两个变量，所以先移项，把不等式转化为2x-3-x>2-y-3y，即2x-3-x>2-y-3-（-y），这样不等式的两边都只含有一个变量了.

再构造辅助函数f（x）=2x-3-x，把不等式问题化归为函数单调性问题.

破解 因为函数y=2x，y=-3-x均为R上的增函数，所以f（x）=2x-3-x是R上的增函数. 不等式2x-3-x>2-y-3-（-y）即f（x）>f（-y），所以x>-y，即x+y>0，故选B.

■

在球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，如图5所示，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是（ ）

A. ■πa2B. ■πa2

C. 3πa2 D. ■πa2

■

图5

■ 特殊化Ey9nplonHtnxbkocaaGvM0jU350tZA8tiQflvLnn1Co=的转化

解答数学题除了常规的直接法以外，还有其他一些事半功倍的方法.如果在解题活动中能够发挥方法沟通上的灵活性，采取一些特殊值来“投机取巧”从而求得结果，不但可以提高解题的速度和效率，还可以使一些难以解决的问题“起死回生”.

■ 已知■=1，■=■，■·■=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°. 设■=m■+n■（m，n∈R），则■等于（ ）

A.？摇■ B.？摇3

C. ■ D.？摇■

思路点拨 本题若按照通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把■=m■+n■两边平方后，得到m，n的关系式，从中求出■，比较烦琐. 现在若把m，n特殊化，如取m=1，则AC∥OB.

由■=1，∠AOC=30°，OA⊥AC得■=■，所以n=■，则■=3，由此判断选择支A、C、D错误，故B正确.

■

1. 对于0

①loga（a+b）

②log■（a+b）>log■a+■；

③b■

④b■>b■.

其中成立的是________. （填所有成立的不等式的序号）？摇

2. 已知奇函数f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调递减函数，α，β，γ∈R且α+β>0，β+γ>0，γ+α>0，则f（α）+f（β）+f（γ）______0. （填大小关系）

化归与转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉化归与转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和熟悉解题技能、技巧.

■ 参考答案

1 等价转化

1. cos2x+4asinx+a-2=1-2sin2x+4asinx+a-2=-2sin2x+4asinx+a-1.

令t=sinx，t∈[0，1]，则原题转化为方程-2t2+4at+a-1=0在[0，1]上有两个根. 令f（t）=-2t2+4at+a-1，由二次函数图象可知Δ>0，f（0）≤0，f（1）≤0，0<■<1，解得■

2. 由已知得f（x）=■+■=■+■，设A（2，3），B（6，1），P（x，0），则上述问题转化为求PA+PB的最小值. 如图6，点A关于x轴对称的点为C（2，-3），因为PA+PB=PC+PB≥BC=4■，所以f（x）的最小值为4■.

2 正与反的转化

1. 函数f（x）=4x2-ax+1在（0，1）内没有零点？圳4x2-ax+1=0在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，a≠4x+■.？摇而当x∈（0，1）时，4x+■≥2■=4，得4x+■∈[4，+∞）. 要使a≠4x+■，必有a<4. 故要使函数f（x）在（0，1）内至少有一个零点，则a∈[4，+∞）.

2. 设抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=m（x-3）对称，AB的中点为M（x0，y0），y1=x■■，y2=x■■. 直线AB的斜率k=■=x1+x2=2x0= -■，所以x0=-■，所以y0=m（x0-3）= -■-3m，所以M-■，-■-3m. 而点M必在抛物线的内部，所以-■-3m>-■■，所以（2m+1）（6m2-2m+1）<0，所以m<-■. 由补集思想知，当m≥-■时，曲线y=x2的所有的弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分.

3 数与形的转化

1. 作出y■=sin■与y■=kx的图象（如图7），要使不等式sin■≥kx成立，由图可知须k≤1.

■

图7

2.不等式可化成a>h（x）=3-x+■-6，只要求出h（x）=3-x+■-6的最大值即可.设t=3-x，t∈[1，5]，h（t）+6的图象如图8所示，可知h（t）+6的最大值为10，则h（t）的最大值为4，故a>4.

■

图8

4 函数与方程的转化

1. 要比较函数值的大小，就要由已知条件求得函数解析式，本题中的f（x），g（x）都未知，只有一个等式，这就需要我们再挖掘一个等式，由函数的奇偶性容易想到用替换，从而得到两个方程组成的方程组，解出即可.

因为f（x）-g（x）=ex，用-x替换x得：f（-x）-g（-x）=e-x. 因为函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，所以f（x）+g（x）=-e-x，又f（x）-g（x）=ex. 解得：f（x）=■，g（x）=-■. 而f（x）单调递增且f（0）=0，所以f（3）>f（2）>0，而g（0）=-1，故选D.

2. 题目给出的方程中含有x，y，a，c等多个字母，而条件中是对任意的x∈[a，2a]都有y∈[a，a2]，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于y的函数，再进一步研究函数的性质. 由已知logax+logay=c，得y=■（其中x∈[a，2a]），函数为反比例函数，在[a，2a]（a>1）上单调递减，所以当x∈[a，2a]时，y∈■，a■. 又因为对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]，所以■≥a，a■≤a2■？圯c≥2+loga2，c≤3.因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}.

5 空间与平面的转化

记内切球的半径为r，则圆柱的体积V2=πr2·2r=2π·r3. 对于圆锥取轴截面，如图9，则圆锥的高h=■+r，圆锥的底面半径为R=h·tanθ=■+r·tanθ=■·r，所以V1=■πR2h=■πr3■.

所以k=■=■·■=■·■=■·■.

令t=1+sinθ，θ∈0，■，则k=■·■，t∈（1，2），所以■=6·-2■■+3·■-1，则■■=■，所以kmin=■.

■

图9

6 变量与常量的转化

若视a为主元，x为辅元， f（x）即可转化为g（a）=xa+x2+1.

当x=0时，g（a）=1>0恒成立；当x≠0时，g（a）是关于a的一次函数，所以当a∈[0，2]时f（x）>0恒成立等价于g（0）>0，g（2）>0，即x2+1>0，x2+2x+1>0，所以x的取值范围为{xx∈R，x≠-1}.

7 抽象与具体的转化

1. 因为对于任意的实数x，y都有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）成立，令x=0可得， f（-y）=f（0）-y（-y+1）=y2-y+1， 所以f（x）=x2+x+1.

2. 由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为T=4，所以x∈[0，2]时，x+4∈[4，6]，所以f（x）=f（x+4）=2■+1. 又函数f（x）为偶函数，所以x∈[-2，0]时-x∈[0，2]，则f（x）=f（-x）=2■+1.令f（x）=2■+1=19，解得x=4-log218=3-2log23，从而f -1（19）=3-2log23.

8 换元的转化

令t=■+■，要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1. 因为t2=2+2■∈[2，4]，且t≥0 ①，所以t∈[■，2].

由①得：■=■t2-1，所以m（t）=a■t2-1+t=■at2+t-a，t∈[■，2]. 由题意知g（a）即为函数m（t）=■at2+t-a，t∈[■，2]的最大值，注意到直线t=-■是抛物线m（t）=■at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：

①当a>0时，函数y=m（t），t∈[■，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t=-■<0知m（t）在t∈[■，2]上单调递增，所以g（a）=m（2）=a+2.

②当a=0时，m（t）=t，t∈[■，2]，所以g（a）=2.

③当a<0时，函数y=m（t），t∈[■，2]的图象是开口向下的抛物线的一段. 若t=-■∈（0，■]，即a≤-■时，g（a）=m（■）=■；若t=-■∈（■，2]，即a∈-■，-■时，g（a）=m-■= -a-■；若t=-■∈（2，+∞），即a∈-■，0时，g（a）=m（2）=a+2.

综上所述：

g（a）=a+2，a>-■，-a-■，-■

9 分离变量的转化

依据题意得■-1-4m2（x2-1）≤（x-1）2-1+4（m2-1）在x∈■，+∞上恒成立，即■-4m2≤-■-■+1在x∈■，+∞上恒成立.

当x=■时函数y=-■-■+1取得最小值-■，所以■-4m2≤-■，

即（3m2+1）（4m2-3）≥0，解得m≤-■或m≥■.

■ 构造法的转化

本题若只从题设条件入手，不易确定PA，PB，PC与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算. 若类比我们熟悉的球与多面体的组合体，则可以联想到球的内接正方体. 将PA，PB，PC看做正方体顶点P处的三条棱，正方体的体对角线就是球的直径. 通过类比， 确定了球心及半径与已知条件的关系，把问题转化为球的内接正方体问题.所以球的半径r=■a，球的表面积S=4πr2=3πa2. 故选C.

■ 特殊化的转化

1. ②④

2. f（α）+f（β）+f（γ）<0. ■