学法指导视角下“二次函数的应用”教学案例

[摘 要] 在二次函数的应用教学中，在丰富多彩的应用案例中，作者精心选择了几道与学习方法有关的案例，用科学研究成果中的数据来告诉学生，在学习中方法的重要性，以及如何去做.

[关键词] 二次函数应用；自主学习；解题反思；学习效率

教学“22.5？摇二次函数的应用”（沪科版《数学》九上）时，受课本P38练习题2（下文中的例1）的启发，我们认为，这是一道以心理科学研究成果为基础，对学生进行学习方法介绍的“二次函数的应用题”.

《义务教育数学课程标准（2011版）》中指出，“要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”

在我们的数学教学过程中，很多教师都已感觉到，学生在数学学习过程中，严重地存在着学习方法薄弱的问题，而且有很多学生的学习方法也不能随着学习水平的提升和学习内容的变换而与时俱进，学生的学习发展也缺乏学习方法方面的支撑. 因此，要提升学生的学习水平，减轻学生的学习负担，须从多个方面、多个角度去寻找办法. 其中之一，也是当务之急就是学生学习方法的改善与提升.

在本课的学习中，学生不仅能收获二次函数知识的应用，而且能在学习方法上得到启示. 因此，我又查找了有关资料，找到了下文中的例2、例3，将此三例在课堂上让学生学习，系列地介绍了学习方法. 通过精心选择的这三道例题，在教学过程中，我与同学们不仅探究了数学问题，而且探讨了学习方法.在课后的教学反馈中，学生普遍认为：蛮喜欢.由此我将教学过程整理如下，供同行参考.

基本要求

例1 心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间x（单位：分）之间满足经验关系式：y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强.

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分时，学生的接受能力最强？

解答 （1）因为y=-0.1x2+2.6x+43= -0.1（x-13）2+59.9，所以，当0

（2）当x=10时，y=-0.1×（10-13）2+59.9=59，所以第10分时，学生的接受能力为59.

（3）x=13时，y取得最大值59.9，所以，在第13分时，学生的接受能力最强.

教学启示 在上例教学后，我与学生探讨了自主学习的问题. 任何学习都离不开学生主动、持续地自主学习. 一个不能自主学习的学生，一个不会自主学习的学生，在学习上难以得到发展.正所谓“今后的文盲不是不识字的人，而是那些不会学习的人！”数学家、数学教育家G·波利亚说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”

自主学习是一种自律学习，是一种主动学习，因为每一个学生都是一个独立的人，学习是学生自己的事情，这是教师不能代替也代替不了的，教师只是起指导作用. 每一个学生都有一种独立的要求，除特殊原因外，都有相当强的独立自主学习能力.正如布鲁纳所说：“自主探索是数学的生命线.”

同时，向学生说明，我已经将自主学习渗透在“教”与“学”的活动之中了，今后还将继续在教学中渗透，请同学们注意积累，特别是从预习、课堂、复习、作业等几个学习环节中积累学习的方法.课堂与课后复习中的自主学习，尤为重要，我会在今后的教学过程中进行介绍. 学生的自主uEB7BYkBZspB6o08FsG4cA==学习能力也会为终身学习奠定基础.

解题能力的关键策略

例2 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好. 某一天他利用30分钟的时间进行自主学习. 假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图2所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.

（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；

（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？

（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）

（2）当0≤x≤5时，设y=a（x-5）2+25，把（0，0）代入，得25a+25=0，解得a=-1.所以y=-（x-5）2+25=-x2+10x. 当5≤x≤15时，y=25. 所以y=-x2+10x（0≤x≤5），25（5≤x≤15）.

教学启示？摇 从上例中，我们可以领悟到，学习数学并不是不停地解题时，学习的收益总量就大，而是要在解题后再用一点时间进行回顾反思，才能有效地提高解题的收益总量. 因此，忽视解题后的再思考，这是很可惜的事，因为这样恰好错过了提高的机会，无异于“拿着宝物又放下了”. 我们希望同学们在解题后尝试着从以下几个角度来养成反思的习惯.

1. 反思审题过程，确定解题关键，培养挖掘隐蔽条件的能力.

经常进行审题过程的反思，可以让学生养成在解题前多读题、审题的习惯，在充分理解题意的基础上，找到解题关键；理清解题思路后，再实施解题，而不是盲目地、无计划地解题，这样能提高解题效率，少做或不做无用功，也才能不断地提高学生的解题能力.

2. 反思解题方法，优化解题过程，寻找解决问题的最佳方案.

我们告诉学生，在你们的作业中，经常看到的是解题过程单一、思路狭窄、解法陈旧、逻辑混乱、叙述冗长、主次不分等不足，因此，要求你们通过解题反思不仅能够比较出几种解法的优劣，对所学知识灵活运用有进一步的认识，对知识的内在联系脉络清楚，运用规律了如指掌，解起题来得心应手，解题能力大有提高，而且，还应开阔视野，使思维逐渐朝着多开端、灵活、精细和新颖的方向发展，对问题本质的认识不断深化，不断提高概括能力，形成一个系统性强、着眼于相互关系的数学认知结构.

3. 反思解题结果，剖析错误原因，深刻理解基本概念和基础知识.

你们在解数学题时，有时会因为审题不明、概念不清、忽视条件、套用相近知识、考虑不周或计算出错等原因，产生这样或那样的错误.所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证.

4. 反思解题策略，总结解题规律，掌握数学基本思想方法.

通过解题反思、总结解题规律，不仅能比较容易地抓住问题的本质，将问题由个别推向一般，使问题不断深化，还能训练和培养归纳思维能力，使思维的抽象程度不断提高，提高解题能力.这就超出了题目本身的意义，远比单纯地解几道题意义重大.

5. 反思题目立意，注重拓展推广，培养自主意识和创新精神.

当一道数学题解完以后，如果进一步深入分析题目条件和内涵，探求什么性质不变，掌握其本质，我们就可以将已知的具体题目进行推广. 善于进行推广所获得的就不是一道题的解法，而是一组题、一类题的解法. 这有利于培养学生深入研究的习惯，激发他们的创造精神.

真可谓“千金难买回头看”. 又如一位数学家所说：解题的过程犹如在一间黑屋子中找东西，而解题后的反思就是突然灯亮了，让人感觉到豁然开朗.

我们不会停留在讲讲解题后回顾与反思的重要性与基本方法，而应在今后的教学过程中，结合具体的解题指导让学生进行解题后的回顾与反思.

的重要法宝

例3 心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t（分钟）的变化规律有关系式：y= -t2+24t+100（0

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时相比，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，教师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题？

解答 （1）当t=5时，y=195；当t=25时，y=205. 所以讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.

（2）当0

（3）当0

教学启示 对于每位学生来说，在学校中的大部分时间都是在课堂中度过，提高课堂学习的效率与效益，是每位学生必须重视的问题.本例告诉学生，在一堂课中，如何提高课堂的学习效率与效益有一定的科学依据. 我们教师也应在今后的教学活动中提示学生注意提高课堂效率，也请学生在自己的学习活动中注重归纳总结，力争使自己的课堂学习效率达到最佳状态.

从上述例题中，我们可以告诉学生，数学的应用是如此的广泛，就连我们的学习方法与策略都可以用函数来进行表示，心理学的研究成果也通过数学来表达与刻画，使问题变得简单、明了. 且在学习中，不能死学习，要关注学习方法，提高学习效率，提高学习效益.