变出课本习题的精彩

[摘 要] 本文从一道课本习题出发，进行多角度探索和研究，意在通过一题多变、一题多用、多题归一，充分挖掘该题的教学价值，帮助学生认识问题的本质，积累解题经验和策略，发展思维能力.

[关键词] 课本习题；多角度；探究

题目 （苏科版《数学》八年级下册P102第7题）如图1，在？荀ABCD中，E是BC上一点，AE与BD相交于点F.

（1）△ADF与△EBF相似吗？为什么？

（2）如果E是BC的中点，那么AF与EF有怎样的数量关系？为什么？

此题在平行四边形的背景下，设置了两个问题，分别考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质. 图形简洁，研究的问题也很简单，然而该题的图中却蕴涵了相似的基本图形——“X”型，如果延长原题图中的某些线段，会出现相似的另一个基本图形——“A”型，图中多条线段、多个图形的面积存在一定的数量关系，因而看似平淡无奇，实际上却是值得细细品味的一道有研究价值和开发价值的好题.

在原题条件和图形基本不变的

情况下探究图形中隐含的结论，

精彩纷呈

评析？摇 上述两题在原题条件和图形不变的情况下，探索题中图形的面积关系，可让学生体会化归的数学思想，即图形的面积关系可转化成线段关系，四边形的面积可转化成三角形的面积. 通过探究1可引导学生总结出夹在两条平行线间的几个三角形的面积之间的关系的一般性结论. 通过探究2可引导学生总结出处理三角形面积关系的两个基本策略，即看两个三角形是否相似或两个三角形是否是同底、同高、等底、等高.

探究3？摇 如图3，在？荀ABCD中，E是BC上一点，AE与BD相交于点F，延长AE交DC的延长线于点N.

（1）图中有几对相似三角形？请写出来.

（2）探索线段AF，EF，FN之间的关系.

（5）如果E是BC的中点.

① 求AF︰FE︰EN的值.

解析？摇（1）图中有6对相似三角形，分别是△ABE∽△NCE∽△NDA，△ABF∽△NDF，△ADF∽△EBF，△ABD∽△CDB.

（2）AF2=FE×FN. （理由略）

（3）（4）证明略.

此题通过连结原题中的另一条对角线，探究图中三条线段的数量关系及图形的面积关系，问题的难度进一步提高. 通过问题的解决，有利于学生进一步领悟数学化归思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 此题还可以连结EM ，借助三角形的中位线，构造相似三角形去解决，可培养学生的发散思维.

变换原题的部分条件或增加

一些条件探索新的结论，变化

无穷

1. 改变点E在BC上的位置，独具匠心.

探究5？摇 在？荀ABCD中，E是BC边上的三等分点，AE与BD相交于点F.

（1）求AF︰FE的值.

如图4，在？荀ABCD中，E是BC边上一点，AE与BD相交于点F，AC与BD相交于点M. 若BE︰EC=m，求BF︰FM︰MD的值（用含m的代数式表示）.

BF︰FM︰MD = 2m︰1︰（2m +1）. （过程略）

探究7？摇 如图5，在？荀ABCD中，E是BC延长线上一点，AE与BD，CD分别相交于点F，N.

（1）图中有几对相似三角形？

（2）若FN=1，EN=3，求AF的值.

（4）如果CE︰BC=m，求AF︰FN︰NE的值（用含m的代数式表示）.

解析 （1）6对.

（2）由题意可得AF2=FN×FE，故AF=2.

（3）证明略.

2. 增加BC边上点的个数，推陈出新.

如图6，在？荀ABCD中，E，M是BC边上两点，且满足BE=EM=MC，AE与BD相交于点F，AM与BD相交于点N，求BF︰FN︰ND的值.

BF︰FN︰ND = 5︰3︰12. （过程略）

如图7，在？荀ABCD中，M，E是BC边上两点，且满足BM=EM =EC，AE与BD相交于点F，DM与AE相交于点G，求AF︰FG︰GE的值.

解析 AF︰FG︰GE =12︰3︰5.（过程略）

评析 探究5、探究6、探究7、探究8和探究9从改变原题图形中“点”的位置、个数入手，探究8与探究9可以看做是探究5的进一步拓展. 通过一系列演变，可让学生感悟到问题解决中体现的“变”与“不变”的关系：题目虽变，但解题策略不变，即要善于从复杂图形中找出相似的基本图形——“X”型和“A”型，将所要研究的几条线段与同一条线段发生关系，从而促使学生深刻理解问题的本质，积累解题经验.

3. 变“对角线BD”为“过点B及线段CD上一点（不与C，D重合）的线段”，柳暗花明.

探究10？摇 如图8，在？荀ABCD中，E是BC的中点，G是线段CD上一点，AE与BG相交于点F.

（1）当点G是CD的中点时，

①求AF：FE的值及BF︰FG的值.

（2）若DG︰GC=m时，求AF︰FE的值（用含m的代数式表示）.

解析 （1）过点E作EH∥AB交BG于点H.

评析？摇 该探究从改变原题图形中“线”的位置入手，也隐去了原题图中的相似三角形，解决问题（1）的关键是学生能否运用类比的策略，通过作平行线构造相似三角形去解决. 问题（2）是问题（1）的拓展，将探究的问题一般化，能促使学生理解和内化知识，有效考查学生的应变能力.

4. 改变图形的背景，变“？荀ABCD”为“梯形”，旧貌换新颜.

如图9，在梯形ABCD中，BC∥AD，点E是DC延长线上一点，AE与BD相交于点F. 若AD︰BC=m，DC︰DE=n，求AF︰EF的值（用含m，n的代数式表示）.

评析？摇 该探究改变了原题图形的背景，变“平行四边形”为“梯形”，变点E为DC延长线上的一点，将探究的问题一般化，在全新的情境中更能有效考查学生的能力，促使学生理解问题的实质.

5. 逆向改编，别具一格.

评析？摇 该探究将原题中的第（2）问进行逆向改编，即由图中的面积关系去探究点E在BC上的位置，在题目的变化中学生易于发现知识之间的联系和变化，增强了学生举一反三、触类旁通的解题能力.