打开思维异度空间培养创新解题能力

[摘 要] 数学的解题过程是一种独特的思维过程，本文通过对初中生数学解题过程中思维品质及思维过程的探讨，提出一些初中生数学解题过程中思维突破的策略. 并认为教师要以引导学生“学习解”作为出发点，注重解题的思维过程

数学教学离不开解题教学，传统的做法只是再现书本上的知识，学生只能模仿例题或教师讲授的习题去对套路，而缺乏对重组改造和解题后的反思、总结，其结果造成学生思维凝滞，解题思路狭窄，概括性思维、联想性思维及创新性思维能力差. 因此，教师要深入实际，研究例题与习题的活解法、规律与引申. 在讲解时，教师要不断地创设适当的问题情境，充分发挥例题和习题的潜在功能，激发学生积极思考，培养他们的数学思维能力和勇于探究、合作交流的意识，使学生在解题中学会思考，体会数学思想和方法，使学生真正学会解题、爱上解题、创新解题，潜移默化地提高学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的智力，开拓学生的创新精神.

初中生数学解题过程中思维品

质的缺陷

初中阶段学生的思维形式处在从形象思维向抽象思维过渡的阶段，思维的独立性、批判性及自觉性已有了显著提高，然而在思维的深刻性、灵活性、广阔性等思维品质方面仍显不足，考虑问题时缺乏清醒的认识和深度、广度的考量，导致解题时找不到对应的解决方法.

1. 思维的广度不够，出现离散与疏漏

数学知识体系的综合性特点要求学生的思维品质要有一定的广度，在数学学习中能用全面的、综合的观点看待问题.

但是不少学生的思维品质在这一方面却表现出很大的局限性，他们解题时，思维常常出现离散与疏漏，孤立地分析问题，只重视内涵，忽视外延，不能保证思维通道的畅通，影响了数学问题的解nF1ylQI7sJfBYLxyVVmba25DgZXoSKmL47J/FUpSCcI=决.

2. 思维的深度不够，流于肤浅和短视

要认识事物的本质特征，揭示事物的内在联系和规律性，就必须对认识对象进行深入的比较、分析，这就要求学生的思维要有相当的深度. 学生思维不够深刻主要表现在不善于洞察数学对象的本质联系，不能捕捉矛盾的特殊性，不能从已知材料中揭示隐性的条件、发现最有价值的因素.

3. 思维缺乏灵活性，导致呆板与教条

知识的掌握重在运用，思维的灵活性越强，就越容易实现知识的迁移. 而不少学生在数学解题时思维僵化、不跳跃，表现出线性思维状态，不善于运用联想、归纳、推理等方法把知识联系起来建立新的序化知识，解题时无法找到思维的切入点.

初中生数学解题过程中思维过

程的剖析

要克服初中生数学解题过程中思维品质的缺陷，顺利地达到解题的目的，我们有必要弄清学生数学解题的思维过程，从而探寻、开拓学生解题思维的方式、方法，帮助他们打开一个个数学“死结”，引领学生通过数学解题，培养良好的思维品质、思维习惯和思维能力，启发灵感，激励创造性思维.

数学的解题过程是一种独特的思维过程，应是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程，一般需要经过以下三个步骤：（1）识别和理解问题过程，即通过审题提取解题信息；（2）生成解题路径过程，包括思维定向（课题类化）和背景知识再现；（3）评价解题过程和得出结论过程. 然而由于教师解题教学的疏漏和学生自身存在的非科学的知识结构和思维模式，导致不少学生解题时信息提取失真、思维定向失误、知识再现失灵、解题评价失当，所以在一系列解决问题的过程中，学生的思维过程又将会表现出以下几个特点：（1）依赖性，即不能独立、积极地去思考，不能挖掘习题给予的信息，而是期望题外的提示；（2）迟缓性，即思维迟缓，对信息加工的能力差，速度慢；（3）固执性，即习惯于某种特定的思维模式，不能从多种角度来看待同一个问题；（4）肤浅性，即思维较肤浅，看问题往往以偏概全，易被表象迷惑；（5）烦琐性，即不能对解题的思维过程进行简化和压缩.

破的策略

针对初中生数学解题过程中思维品质和思维过程的缺陷，教师在解题教学中要善于引导学生克服思维外显过程中的肤浅与短视，让他们更好地打开思维的异度空间，不断完善数学思维品质的形成，在多种解题思路的交流过程中实现创新思维的碰撞和解题思路的优化、提升.

1. 引导学生一题多思、联想归纳，培养思维的深刻性

在解题教学中，解决某一已知条件下的某习题后，可引导学生对在解题过程中会出现多种不同的思路进行联想、归纳、创新，提炼思想方法，探究出对这一已知条件的常用思维途径，使学生在问题解决的过程中形成对概念、原理的深刻理解，培养学生思维的深刻性，提高数学素养，有效地提高解题教学效果.

学生讨论后，我把此题改为以下问题的形式让学生逐步思考完成.

已知：如图1，在Rt△ABC中，CD⊥AB.

（1）求证：①∠1=∠B，∠2=∠A；②△ABC∽△ACD∽△CBD.

（2）求证：①CD2=AD·BD；②AC2=AD·AB；③BC2=BD·AB.

（3）若AC=3，BC=4，求：①Rt△ABC的面积；②AB，CD，AD之长.

待问题解决之后，我又引导学生作出以下思考：（1）联想同角的余角相等；（2）联想勾股定理；（3）联想三角形的面积；（4）联想三角形相似判断定理. 这样，通过一题多思、联想归纳，学生从一、二种模仿式思路，逐渐形成多角度思考问题的习惯，从而形成对概念、原理的深刻理解，提高解题能力.

2. 鼓励学生一题多解、融会贯通，培养思维的灵活性

美国著名数学教育家波利亚强调指出：掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题，不仅善于解一些标准题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题. 因此，教学中教师要善于打开学生思维的窗扉，沟通知识纵横联系，整合知识结构，引导学生融汇多种数学思想或方法，拓展解题的面，探寻更灵活多变的方法，发展学生思维的灵活性，不断提高解题能力.

由于图形的约束，学生往往用弦切角定理及三角形外角定理来证明，即∠TBC=∠TAB+∠ATB=∠BTC+∠ATB=∠ATC. 但仔细观察图形并联想到相关图形的性质，那么就能得到一些独特的证法：

（1）在CT延长线上取一点E，因为CT是切线，所以∠ETA=∠ABT. 又因为∠ETA与∠ATC互补，∠TBC与∠ABT互补，所以∠ATC=∠TBC（等角的补角相等）.

（2）在弧AT上取一点D，连结AD，TD，因为CT是切线，所以∠ATC=∠D. 又因为四边形ABTD内接于圆O，所以∠TBC=∠D. 所以∠ATC=∠TBC.

（3）由弦切角定理得∠CTB=∠TAB，又∠C是公共角，所以△ACT∽△TCB. 故∠ATC=∠TBC.

这样有目的地引导学生一题多解，不仅可以进行思路分析和解题规律的探求，更深刻地把握数学的一些基本关系和内在联系，而且能达到深化知识、启迪思维、发展学生思维灵活性的目的，不断提高学生的解题能力.

3. 启迪学生一题多度、深度拓展，培养思维的广阔性

思维的广阔性是指思维发挥作用的广阔程度. 在解题教学实践中，引导学生多角度去思考和适度拓展，对数学问题蕴涵的知识和方法进行重新分析，纵向深入地探究，透过表面形式去追溯本源，看到本质，在弄清其内涵与外延的过程中，探究新解，达到锻炼、开拓学生思维广阔性的目的.

例3？摇 已知：在平面直角坐标系中，A（2，2），B（2，-3），C是y轴上的一动点， 若△ABC是直角三角形，求点C的坐标.

在学生利用勾股定理和等面积法求解后，我对试题进行了如下加工：

（1）在平面直角坐标系中，A（2，2），B（2，-3），C是y轴上的一动点， 若△ABC是直角三角形，是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）在平面直角坐标系中，A（2，2），B（2，-3 ）和 D（0，1），直线y=kx +b经过点D，C是直线y=kx+b上一点，若以A，B，C为顶点的直角三角形有且只有三个，求直线y=kx+b的解析式.

通过这样的训练，学生对这类问题的本质有了更全面、更深刻的认识和理解，掌握得也更加准确，从而能形成认知结构中知识的系统性，能开拓思维，使他们的解题能力得到质的提升.

波利亚在《怎样解题》一书中指出：“解题的价值不是答案的本身，而在于弄清是怎样想到这个解法的？是什么促使你这样想，这样做的？”因此，在初中数学解题教学中，教师要以引导学生“学习解”作为出发点，注重解题的思维过程，善于打开学生思维的异度空间，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，培养思维的深刻性、灵活性和广阔性，进而培养思维的创造性，发展创新解题能力，让每一位学生都能感受到数学文化中的理性精神，激发学生探求真理的热情和信心.