价值引导自主建构

[摘 要] 引导学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想方法，才能有效地应用知识、形成能力，从而提高数学素养. 笔者结合“二次函数”复习课就感悟数形结合思想进行了积极的探索.

[关键词] 价值引导；自主建构；数学思想与方法

数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容，是获取知识、发展思维能力的重要工具. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，也充分反映了数学思想的重要性. 学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识、形成能力，从而提高数学素养. 数形结合思想是初中数学众多数学思想中最重要也最基本的思想之一，它在初中数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的有效思想，同时也是历年中考的重点考查内容.

在平时的教研活动中，笔者常常发现，由于教师本人对数形结合思想理解得不足，导致思想方法的渗透流于口头表达形式或是“蜻蜓点水”式地提一提，学生不能较好地感悟和应用. 那么，如何引导学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数形结合思想呢？笔者结合“二次函数”复习课对此进行了探索，教学过程简录如下.

回顾复习、自主探究——体验

数形结合思想

若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：

1. 观察表格，你能得到哪些信息？

利用二次函数的对称性可知图象的对称轴及顶点坐标、图象与坐标轴的交点坐标、图象的增减性，可用三种不同方法求出二次函数的解析式.

2. 能否采用其他方法，得到更多的信息？

画草图（图象法）. 如图1，当x=-1和x=3时，y=0；当-10；当x<-1或x>3时，y<0.

3. 如图2，求△CDB的面积.

4. 以上信息的获得，用了什么数学思想方法？——数形结合思想.

5. 那么，“数”与“形”怎么结合呢？你是怎样理解的？

【设计意图】 通过独立思考、自主探究，回顾复习二次函数的图象与性质，并以此为知识的“生长点”，为后续学习搭建“脚手架”；结合价值引导，帮助学生体验数形结合思想.

引导探究、合作研讨——感悟

数形结合思想

1. 以“形”助“数”——借助“形”的生动和直观性来阐明“数”之间的联系.

（1）请采用尽可能多的方法解下列方程（自主探究、合作交流）.

-x2+2x+3=0？摇（一般解法、图象法）

（2）借鉴上题解题经验，快速解下列方程（自主探究）.

-x2+2x+3=3？摇？摇？摇？摇？摇 -x2+2x+3=2

-x2+2x+3=-x+3

（3）判断下列方程解的个数（自主探究）.

-x2+2x+3=4？摇？摇？摇 ？摇 -x2+2x+3=5

-x2+2x+3=2

（4）解下列不等式（自主探究、合作交流）.

-x2+2x+3>3？摇？摇？摇？摇？摇-x2+2x+3<2

-x2+2x+3>-x+3

（5）若y=-x2+2x+3（0≤x≤3），求y的取值范围（自主探究）.

若y=-x2+2x+3（-2≤x≤2），求y的取值范围.

（6）反思：通过以上练习你有何感想？获得了哪些解题经验？

方程、不等式问题可以转化为函数问题，可以通过图象法解决；以“形”助“数”， “数”借助“形”可以使抽象的问题生动化和直观化.

【设计意图】 主要从以“形”助“数”的角度感悟数形结合思想. 根据学生的认知特征，通过价值引导，设计有层次性的变式练习，激发学习兴趣，积累解题经验.

方法二：利用二次函数的增减性比较大小.

方法二：通过二次函数的对称性，先把对称轴异侧的两点转化为同侧，再利用二次函数的增减性比较大小.

方法三：根据图象可知，若抛物线的开口向下，点到对称轴的距离越近，则点的纵坐标越大；点到对称轴的距离越远，则点的纵坐标越小. （反之……）

（5）反思：通过以上练习你有何感想？获得了哪些解题经验？

图形的某些属性或特征可以借助“数”的精确性来阐明；数形结合思想就是以“形”助“数”、以“数”解“形”，通常往往要两者结合.

【设计意图】 主要从以“数”解“形”的角度感悟数形结合思想. 通过变式练习，激发学习兴趣，积累解题经验，体会数形结合思想，即以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合.？摇

综合应用、提高素养——应用

数形结合思想

例题 ？摇在火箭主场与湖人的一场比赛中，科比在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

1. 建立如图3所示的坐标系，求抛物线的解析式.

2. 姚明身高为2.26米，跳起能摸到的高度为3.45米，此时他上前封盖，在离科比2米处时起跳（如图4），能否成功封盖住科比的此次投篮？

【设计意图】 ？摇通过综合应用，进一步感悟数形结合思想，增强应用意识，提高数学素养.

数形结合思想

纵观整节课，主要涉及了什么数学思想方法？你现在认为“数”与“形”怎么结合？

数形结合思想就是看“形”思“数”、见“数”想“形”，实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合.

师：我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想用一首诗进行了很好地诠释：

数缺形时少直观，形缺数时难入微；

两者结合万般好，隔离分家万事休.

【设计意图】 通过反思，积累数学活动经验，建构理论，明确“数形结合”思想.