研究“形”探究“理”

[摘 要] 本文通过一道形象、直观的题让学生得到一个等式（乘法分配律的特例），然后通过分层提问、层层深入，发现等式两边的相同点与不同点，进而再通过特例归纳出乘法分配律的一般形式，最后对其进行应用，发现其简算的功能.

[关键词] ？摇“形”；“理”；自主探究；主动构建

对于“乘法分配律”，在教学中，我始终抓住内在不变的“理”来说明外在变化的“形”，通过丰富感知素材、强化数学表象、顺应学生概括、设计精当练习等途径，引导学生积极参与、自主探究、大胆交流，进而促进学生深刻理解、主动建构、灵活应用，让学生获得认识层面和情感层面的“共赢”.

教学设计

（一）创设情境，得出等式

1. 出示教科书第54页情景图，从图中你了解到哪些信息？列综合算式解答.

学生自己独立解答，汇报两种方法.

2. 借助直观图理解两种计算方法.

（1）先算1套，再算出5套衣服的价钱，也就是“配”套算.

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

（2）先算5件夹克衫和5条裤子的价钱，再加起来，也就是“分”别算.

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

3. 得出等式：（65+45）×5=65×5+45×5.

思考 引导学生借助直观图进一步理解算理. “配”套算（竖看）：先把1件夹克衫与1条裤子配成1套，算出1套的钱，再算出5套衣服的钱. “分”别算（横看）：先算5件夹克衫和5条裤子的价钱，再相加. 从图中可以明显看出，不管是“配”套算，还是“分”别算，都求到了5件夹克衫和5条裤子一共要付多少钱，即550元. 这样的教学，能让学生既直观地理解“分”，又形象地领悟“配”，能使学生在头脑中清晰地储存表象，以便顺利地提取并灵活地运用表象.

（二）寻找联系，提出猜想

1. 寻找等式两边算式的相同点和不同点，把你的发现和同桌交流一下.

相同点：用到的数都是一样的；都有加法和乘法.

不同点：（1）是先算加法，再算乘法，（2）是先算乘法，再算加法.

师追问：右边实际上是把左边给——分开了.

齐读等式，并再次体会它们之间的联系.

2. 提出猜想.

是不是所有像这样的两个有联系的算式之间都可以用等号连接呢？

3. 举例验证规律.

（1）学生在纸上照样子写两个这样的算式，并算一算它们是否相等.

（2）选择两个板书，汇报时说出结果，切实体会相等关系.

（3）不计算，你有什么办法解释（20+30）×6=20×6+30×6是相等的？结合数形图帮助理解.

20？摇？摇 20？摇？摇 20？摇？摇 20？摇？摇 20？摇？摇 20

30？摇？摇 30？摇？摇 30？摇？摇 30？摇？摇 30？摇？摇 30

（4）有没有谁照样子写的两个算式，算出的结果是不一样的？像这样的等式可以写多少个？

思考？摇 让学生照样子列举体现乘法分配律外形特征的算式，不但能引导学生通过计算验证两边的结果是否相等，还能引导学生借助数形图进一步理解算理，从而直观地显示等式在形式上发生变化的原因. 这样从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性，学生逐步经历了“数学化”的过程，不但知其然，而且知其所以然.

（三）观察等式，发现规律

1. 刚刚我们通过举例验证得到了这些等式，观察一下，并回答下列问题.

（1）左边这些算式有什么相同点？

都有括号；都是先算加法，再算乘法，也就是先算两个数的和，再乘另一个数.

（2）右边的算式和左边的算式有什么联系？

右边的算式就是把左边括号里的两个加数分别乘括号外面的乘数，再相加.

2. 你发现了什么规律？能用自己的话来说一说吗？

小结：两个数的和乘另一个数，等于两个数分别乘另一个数，再相加.

3. 揭示课题：这一规律就是今天这节课我们所要研究的运算律——乘法分配律.

4. 让学生以自己喜欢的方式来表示乘法分配律.

投影上展示作品，得出（a+b）×c=a×c+b×c.

思考？摇 乘法分配律这一规律让学生用语言来表达是非常困难的，这里通过分层提问：①“左边这些算式有什么相同点”能让学生逐渐概括出左边是两个数的和乘另一个数. ②“右边的算式和左边的算式有什么联系”能引导学生说出是把左边算式中括号内的两个数分别乘括号外面的乘数，再相加. 这样便让算式蕴涵的本质规律在“磕磕绊绊”的迂回中逐渐“浮”出水面.

（四）巩固练习，运用规律

1. 做“想想做做”第1题.

学生自主思考、填写，指名回答结果，全班共同校正.

重点说说：27×12+43×12=（27+43）×12.

27×12+43×12，有相同的乘数12，这个相同的乘数可以放在括号外面，这是乘法分配律的逆向应用.

2. 做“想想做做”第2题.

学生独立判断. 重点说说第3题和第4题是怎么想的.

3. 回顾以前乘法分配律的运用.

（1）三年级上册中，求长方形篮球场的周长.

（2）三年级下册中，计算两位数乘两位数28×12.

思考？摇 充分利用学生已有知识和经验，让学生回顾长方形周长计算的两种方法以及两位数乘两位数的计算过程和算理，帮助学生认识到它们都体现了乘法分配律. 这样，不仅沟通了知识之间的内在联系，而且有助于学生进一步拓展和内化对乘法分配律的认识.

4. 拓展提升.

（1）先填出前面横线上的数，再写出与它有联系的算式. （比比谁写得多）

64×____+____×36=____

请学生说说是怎么想的.

（2）任选学生填的其中一组算式，如64×8+8×36=（64+36）×8，让学生分别计算左边的算式和右边的算式，得出：用乘法分配律可以使计算简便.

思考？摇 用一道开放题来巩固乘法分配律的本质特征，让学生在“变”中寻找不变，并利用学生列举的算式，通过计算体会到运用乘法分配律可以使计算简便.

（五）全课总结，拓展延伸

1. 同学们，今天我们学习了哪一种运算律？乘法分配律怎样表示？

2. （a+b）×c=a×c+b×c，猜想一下：（a-b）×c会和哪个式子相等呢？

同学们也可以像刚才那样先列举，再验证，看看你的猜想是否正确.

思考？摇 全课总结后引导学生进行合理的联想，不但可以丰富和深化学生对乘法分配律内涵的认识，使其全面、透彻地理解和掌握规律，而且能帮助学生进一步积累研究问题的经验与方法，获得充分的数学活动经验，发展数学思维能力.

全课反思

整个教学过程体现了以下三大特点：

1.？摇变“粗”为“细”，让表象从模糊走向清晰.

课的开始，根据情景图，学生得到两个算式后，除了让学生说出想法外，还借助直观图——5件夹克衫和5条裤子进一步理解“配”套算和“分”别算两种算法，让学生既很直观地理解“分”，又很形象地领悟“配”，为后面的抽象概括提供形象支撑.

引导学生观察（65+45）×5=65×5+45×5这个等式中两个算式的联系时，有意暗示找找它们的相同点，再看看它们的不同点. 学生得到左边是先加再乘，右边是先乘再加. 再追问：“右边是谁和谁乘，右边实际上是把左边给——分开了. ”让学生领会到了两个算式的“合”与“分”，从而建立清晰的数学表象，后面学生自己的举例也就水到渠成了.

2.？摇变“快”为“慢”，让概括从形式走向内涵.

教学是一种“慢”的艺术，我们要舍得“浪费时间”. 乘法分配律这一规律让学生用语言来表达是非常困难的，如何引导学生理解乘法分配律的本质，从而用自己的语言来概括，成为本节课的一个难点. 在教学中，我采用分层提问、层层递进的方法，让不同的学生描述所发现的规律，虽然很多学生的语言不是那么完整、严密，但学生在“驻足细品、交流分享”中有效实现了对乘法分配律内涵的深度理解.

最后让学生用自己喜欢的方式表示规律时，不断追问：“这里的a，b，c可以代表哪些数？（a+b）×c和哪个算式相等？右面的算式a×c+b×c是怎么得到的？”……让学生在独立思考的基础上，畅所欲言，各抒己见，不仅获得求知的满足，而且感受成长的快乐.

3.？摇变“多”为“精”，让应用从模仿走向创新.

练习的最后我出示了这样一道题：64×____+____×36=____，先填出前面横线上的数，再写出与它有联系的算式，比比谁写得多. 很多学生在短时间内写出了很多种情况，此时请写得多的学生谈想法，并得出“只要使两个乘数相同，就可以运用乘法分配律”. 然后利用学生自己写出的算式进行计算比赛，让学生体会到利用乘法分配律可以使计算简便. 通过这样一道开放性的习题，变换角度的使用，实现了“以少胜多”的功效.

总之，乘法分配律的教学重在“悟”，切忌“灌”，本质上的理解远远胜于形式上的模仿.