试论中小学算术与代数教学的联接

[摘 要] 本文通过分析七个学生对两道减法算式的解决方法，探讨了从算术教学过渡到代数思维发展的可能性，指出在小学阶段算术教学中发展早期代数思维的重要性.

[关键词] 数与代数；早期代数思维；算术教学

“数与代数”教学的研究一直是数学教育中的热点. 2001年12月，在澳大利亚墨尔本大学召开了第12届国际数学教育委员会大会（ICMI-12），作为本世纪的第一次国际数学教育委员会大会，其主题为“代数教与学的未来”，特别关注中小学的代数教学. 然而，代数一直是学生在学习数学时最难的内容，美国有研究者指出，代数已经成为学校数学最重要的“守门员”. 也就是说，如果一个学生不能学好代数，那么必然不能在数学上表现良好，得到很好的发展. 正是由于代数的这种特殊角色，以及大量学生对代数学习没有足够的准备与理解，代数课程与教学正越来越成为全世界政策制定者以及数学教育研究者关注的焦点.

我国在新世纪以来的数学课程改革中，首次将数与代数的学习放在一起作为同一个学习领域，并给出了强烈的信息，即需要将算术（数）与代数的学习更好地衔接起来. 然而，在现实的教学之中，算术与代数的教学却有独立甚至割裂的现象，这种教学可能导致学生在进入初中之后不能很好地理解代数的学习. 本文通过某学校七年级学生解决两道特殊的减法算式：41-15=43-（ ），104-45=（ ）-46的情况，来讨论算术与代数教学的衔接，以及促进学生早期代数思维发展的重要性.

传统数学教学中算术与代数的

割裂

事实上，学生在代数学习上的困难更多是由于学校数学课程中的代数内容与学生之前所学内容的割裂造成的. 传统的数学课程都将算术与代数的学习分离开来，认为算术是小学数学的主要内容，而代数则主要在初中与高中学习.

算术和代数这两个领域在学校数学教育中的割裂有着多种因素. 首先是由算术和代数不同的特征造成的，这也就决定了算术和代数在学校教育中扮演的角色和所起的作用有所不同. 算术（计算）一直被视为小学阶段数学教育必不可少的一个有机构成，而代数则被看做是适合学生进入中学以后学习的数学内容，甚至代数还被看做仅仅是那些具有抽象思维能力的学生才能学习的数学内容. 因此，在中国，20世纪60年代以前，小学数学这一门学科一直称为“算术”，与之对应的一直都有算术课程标准或教学大纲，这种割裂算术与代数联系的教学可能导致学生以算术的思维方式来处理等式左右之间的关系，这种思维方式直到初中还会存在.

如图1所示，学生a和学生b在表述上存在差异，但思考方式是一致的，我们可以称为类型Ⅰ解法. 他们在解决第一个问题时，先准确算出了41-15的差，然后再利用得到的结果算出了右边方框中的数字；第二题相同，先算出104-45=59，再利用59+46得到105. 计算过程可以从他们的文字解释看出，其中学生a对两道题目给出的解释分别是“因为41-15=26，所以用43-26=17，使等式成立”以及“因为104-45=59，所以要使等式成立，用46+59 =105”. 学生b给出的解释分别是“先把左边算式求出来，再用右边的数字减去它们的差，就等于空格里的数字”和“先把左边算式求出来，再用右边的数字加上左边的差，就等于空格里的数字”.

可以看出，a学生和b学生都准确地计算出了结果，而且能够清晰地表达自己的解题过程与思路. 多数小学教师看到他们的计算结果与解题过程，会表示满意，认为完全达到了教学目标. 但事实上，在类似上述未完成的算术题中，本身还保留着代数的意味，也即其中蕴涵了代数的思维方式. 此外，由于只关注计算结果正确与否，在小学阶段就养成的解决问题的习惯，遇到有计算就先求出结果，使得很多学生失去了寻找、发现等式两边数字之间关系的机会. 这些算术中潜在的代数特性与代数思维，在教师无视思维培养的教学下，被只关注算术中的结果与计算程序所忽视了.

联接算术与代数学习

如上所述，传统数学教学中的算术与代数学习之间存在着某种割裂，那这种是否具有现实合理性呢？答案显然是否定的. 有研究者指出：“算术和代数之间的人为割裂不仅剥夺了学生在小学低年级思考数学的有效图式，而且这还给他们在后续学习代数时造成了更大的困难. ”他们的研究继而表明，小学生能够参与到代数推理中，而且学习代数中的这些重要概念与实践，并不是只有少数在数学上天赋出众的学生才能完成. 比如，下面几位学生的解答就表明虽然刚刚结束小学阶段的学习，但他们已经具备了对等式的关系以及代数结构的理解.

如图2所示，学生c，d，e的解法与学生a和学生b不同，可称之为类型Ⅱ解法. 他们没有采用先得出左边结果再利用计算得到空格中数字的方法，而是发现在第一个算式中，右边的43比左边的41大2，因此要保持两边相等，方框里的数字应该比15大2；第二题类似. 学生c给出的解释分别是“因为41比43小2，为了使等式左右相等，所以应填15+2”以及“因为减数46比45多1，为了使等式左右相等，所以应填104+1=105”. 学生d给出的解释分别是“43比41大2，则空格处一定比15大2”与“45比46小1，空格处一定比104大1”. 学生e没有文字解释，但是用箭头将算式两边有关系的数字（如41与43，45与46）联结起来，同时将15（104）与方框连起来，并在箭头上方（或下方）写上“+2（+1）”，于是得到方框中应该填17（105）. 相比类型Ⅰ的解法，类型Ⅱ解法显然不同，最大的不同便是学生不再一看到算式就想着先算出一边，而是能将算式看作一个整体，观察数之间的关系，而且能准确地理解减法算式中保持相等的性质，这种对于等式的性质以及关系与结构的理解正是代数学习的关键.

对于一些小学教师而言，可能认为类型Ⅱ解法跟类型Ⅰ解法差别不大，最关键的是只要学生能准确地计算出结果. 在课后跟教师交流的时候，其中一位教师谈到：“对于学生a和学生b的解答可大力推广，因为多数学生都能掌握. 而对于学生c，d，e则表扬其思考问题的深度，但不必推广，因为部分学生会混淆，以致出现错误.”这可能也是多数教师的真实想法，尽管他们能识别出类型Ⅱ解法在思维上的深度，但首要追求的还是计算结果的准确性.

这位教师所说的学生在运用类型Ⅱ解法时可能导致的错误的确在课堂上学生的求解中有所出现，如下面的两个学生：

如图3所示，学生f和学生g看出了算式左右两边的数字存在着某种关联，试图利用这种关联来解决问题，但没能正确地应用这种关联，导致了错误，可称之为类型Ⅲ解法. 学生f第一题给出了正确答案17，而且用算式给出了解释“43-41= 2，2+15=17”，虽然没有文字解释，但可以看出该学生解决这道题时注意到了式子左右两边数字之间的关系. 但是在解决第二题时，该学生给出的算式为“46-45 = 1，104-1 = 103”，并在空格中填入了103. 学生g在解决第一题时，与学生f解决第二题的方法完全一样，在空格中填了比15小2的13，而不是17；在第二题中，则直接在空格中填上了104-45的差59，根本没有注意在这个式子空格后面还需要再减46. 这里需要注意到的是，学生f和学生g的错误绝不是由于粗心或者计算的不够熟练造成的，而是由于对等式的性质与结构理解得不全面导致的，这类错误具有典型性，对于理解学生思维上的困难很有帮助. 如该任教老师在课后就指出：“虽然这些学生的答案是错误的，但他们在数学思维的发展上已经在正确的轨道上，出现了一些观察式子整体并思考式子左右关系的思维，但是他们的理解并不全面，需要在今后的教学中引导他们更加全面地理解式子的结构.”在现实教学中，有不少教师可能会为了避免学生出现这样的错误而阻止学生像这样运用等式的性质来解决这类问题，他们会选择要求甚至强制学生必须严格地按照从左边到右边一步一步计算以保证运算的准确率. 如果这样，学生计算的准确率可能可以得到保证，但却剥夺了学生运用并加深对算式中关系与结构的理解的机会，而关系与结构正是代数中的核心特征与关键，学生就此丧失了在学习计算时就理解代数思维的机会，这或许能部分解释有些学生在小学阶段的计算非常出色，但到中学遇到代数学习时却出现非常大的困难.

对学校数与代数教学的启示

以往传统的数学教学中对算术与代数的割裂带有强烈的人为性，现在已经有越来越FZ2mWOzfGc86IHP9h3xtE6YGK6/CljJo9yCGGSxBHDg=多的共识，因为这种对算术学习与代数学习的分离使得学生在以后学习代数更加困难，也剥夺了学生更好培养数学思维的机会，学生对算术的学习并没有为今后代数的学习提供基础.

有研究者把学生在类型Ⅱ解法中对数字的这种运用定义为“准变量（表达式）”，并指出早期的儿童就能对数与运算作出概括，还能尝试验证这种概括. 这种认识并解释数的性质与运算的早期经验能为代数思维与数感的发展奠定良好的基础. 也认为准变量表达式既动摇了算术与代数之间的传统割裂，又在算术思维与代数思维之间起到了桥梁作用，能够帮助学生发展对以下这些重要思想的理解：算式的结构；等式；根据具体的运算运用等式进行抵消；数的变换以及概括化. 上述五个关键思想对于更有效地衔接数与代数的学习至关重要.

如今，在很多国家（如美国、澳大利亚、中国）的数学课程中都强调了对上述思想的重视，都将数与运算的学习看做是早期的代数学习，而不仅仅强调计算. 在小学阶段就加入了对代数学习的要求，这种代数学习更多地体现在对数与算式的关系与结构的理解，且都强调了学生对于等式、结构、概括化等关键思想的发展，也就是发展学生的早期代数思维. 学校数学课程的这种变化体现了加强算术与代数学习的可能性与必要性，在教学实践中需要很好地实施.