数学概念理解型教学例谈

[摘 要] 数学概念理解型教学把对数学概念的理解作为教学的一个重要目标，本文以人教版“生活中的轴对称”为例，谈论了数学概念理解型教学.

[关键词] 数学概念；概念教学；理解型教学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解.”数学概念是数学知识体系中的基本元素，是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式. 它是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础. 《课标（2011年版）》进一步指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础.”其实，学生学习数学概念如果不借助理解，只是记忆事实和操作性程序，很难把握其形式化特征所表征的意义，这样，既不能在新概念与已有认知结构中的相关知识之间建立“非人为的、实质性” 的联系，也不能将所获得的知识顺畅地迁移到新的情境中，表现为对数学概念的“假性理解”——介于正确理解和错误理解之间，即对概念只是简单地记忆和表面地理解，不能抓住概念的本质特征. 造成学生对数学概念“假性理解”的原因很多，最主要的原因是概念教学的“重记忆轻理解”，学生对概念的内涵理解不深刻、似是而非，因此，学生学习数学概念应重在理解，教学中需要理解型教学. 那么，什么叫数学概念理解型教学？

数学概念理解型教学

关于理解，《课标（2011年版）》定义为：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系. 它在对结果目标描述的四级水平（了解、理解、掌握、运用）中处于第二级，理解是学生掌握和应用数学概念的基础. 理解不仅要“知其然”，而且还要“知其所以然 ”，也就是不仅要知道“是什么”，还要明白“为什么是这样”，即要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元联系，挖掘数学知识所蕴涵的科学方法、理性精神等价值观资源. 事实上，学生正是在理解中掌握数学概念本质属性的，理解要在理解型教学中实现. 何谓理解型教学？教学具有理解性，理解是数学教学的内在品质. 教学总是在学生已有的知识经验基础上展开的，数学教学内在地包含理解. 课堂教学中，教师采取各种方法或手段主要是为了帮助学生积极地、正确地理解. 理解型教学包含彼此区别又相互联系的三个层面.

第一层面：理解性教学. 理解是数学教学的基本属性，数学学习重在理解.

第二层面：数学地理解. 学会数学地理解就是学会从数学的角度观察、思考和处理问题. 在这里，理解是探索世界的方法，数学知识是理解世界的结果. 与掌握一些具体的数学知识相比，学会数学地理解也许是数学教学更为基本的价值追求.

第三层面：为理解而教. 理解是数学教学的目标，且是一个极为重要的目标.

据此，我们认为数学概念理解型教学就是把对数学概念的理解作为教学的一个重要目标，通过理解性教学，数学地理解概念的内涵，掌握概念的本质特征，在这个过程中突出对概念外延的应用，注重知识之间的联系和拓展. 那么，教师应如何实施数学概念理解型教学呢？为了便于说明，下面以人教版课标教材八年级数学第十二章“生活中的轴对称”的教学为例. 本节课的教学重点是理解轴对称图形和成轴对称的概念.

案例与评析

1. 创设情景，感知中理解

活动1 多彩大世界

播放多媒体课件（如图1）.

师：这些图形有什么共同特点呢？

生1：这些图形的左、右两边是完全相同的.

生2：这些图形是对称的.

师：我们生活在一个充满对称的世界之中，刚才的图片（再次用多媒体快速演示刚才所放的图片）都是令人难忘的对称景象，今天让我们一起走进数学世界中的另一种美——对称美. （出示课题）

活动2 巧手大施展

动手折一折，找图2中的对称轴：

（3分钟后）

师：你有什么发现？

生3：通过折叠，我发现角、等边三角形、正方形、圆的折痕两边部分能重合，而平行四边形不能重合.

生4：重合不准确，应该是“完全重合”.

师：这位同学说得很好，折痕两边的部分能完全重合，这个特征很重要. 折痕叫什么？

生（众）：对称轴.

师：也就是说，角、等边三角形、正方形、圆等图形有对称轴，而平行四边形没有对称轴. 对称轴是一条直线，是折痕所在的直线. 还有发现吗？

生5：我发现不同的图形折叠方式不同，角有一种，等边三角形有三种，正方形有四种，圆有无数种. （边说边演示）

师：太棒了，这位同学的意思是，角有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，对吧？（众生点头表示同意）

评析：从学生最为熟悉的现实背景、生活背景、数学知识背景等出发，设置最能体现概念本质特征的知识背景——“先行组织者”，建立日常经验与课本知识之间的联系，帮助学生理解数学概念的意义. 活动1设置了学生熟知的蝴蝶、枫叶、窗花等图片，让学生感受在现实生活中存在大量的具有轴对称现象的实例；活动2通过学生的动手折叠操作，让学生认识到有些图形有对称轴，有些图形没有对称轴. 这个环节是让学生初步感知轴对称图形的特征，在感知中初步理解“轴对称图形”的意义.

2. 动手操作，探索中理解

（1）揭示“轴对称图形”的内涵

活动3 潜力大开发

讨论：在活动2中，角、等边三角形、正方形、圆这四个图形有什么共同特征？

生6：他们都能被一条直线分成左、右相同的两部分.

生7：它们沿着一条直线对折后左、右两边能够完全重合.

师：刚才两位同学说得很好，他们都具备沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合的特征. （用多媒体演示重合的过程，并板书它们的共同特征）. 这四个图形分别针对几个图形？

生8：都是一个图形.

师：谁能用自己的话说一说什么叫轴对称图形？

生9：一个图形沿着某条直线对折后直线两旁的部分能够完全重合.

生10：有一条直线把一个图形分成两部分，这两部分能够完全重合.

生11：我强调一下刚才他们说的直线应该是过图形本身的一条直线.

师：你能倾听别人的回答，揭示需要注意的地方，真了不起（充满激情地对生11进行鼓励，并用多媒体展示轴对称图形的概念，学生齐读）

评析：搭建脚手架能够创建符合学生认知发展水平的教学任务，促进学生理解的实现. 活动3通过学生讨论，用分析角、等边三角形、正方形、圆等四个图形的对称关系这个脚手架，引导学生抽象概括出“轴对称图形”的本质属性，理解“轴对称图形”的最重要的本质特征——“完全重合”.

（2）揭示“成轴对称”的内涵

活动4 思想大碰撞

动手操作，思考并回答：

将一张矩形纸对折，在纸的一面，用笔尖扎出不在同一条直线上的三个点，将纸打开铺平，画出折痕，用笔连结折痕两侧的三个点，形成△ABC和△DEF. （3分钟后）

师：这两个三角形的对应点有什么关系？

生12：对称.

师：为什么是对称的呢？

生13：因为△ABC沿着折痕对折后能够与△DEF完全重合，对应点也就能够完全重合.

师：这里的“对称”与刚才的“轴对称图形”一样吗？如果不一样，区别在哪里？

生14：轴对称图形是一个图形的对称，这里是两个图形的对称关系.

生15：这里是两个图形成轴对称.

师：同学们很善于观察和总结. 谁能够描述一下什么叫做两个图形成轴对称呢？

（生随机回答，多媒体展示结论）

师：刚才我们接触了两种对称形式——轴对称图形和两个图形成轴对称，下面，小组讨论，它们的共同特征是什么？有什么区别？有什么联系？

（学生会得出，轴对称图形是一个图形本身的对称，两个图形成轴对称是两个图形之间的对称关系. 到此，教师可引出它们的联系）师生共同完成下表.

评析：建构主义认为学生的学习是一种主动建构的过程，不是被动地接受教师的灌输，而是师生、生生相互交流，积极共进，有意义的学习过程. 学生在合作交流中学习数学地理解，在理解中掌握概念的内涵是数学概念理解型教学的重要方式之一. 活动4是在学生动手操作的基础上，用问题串层层递进，让学生边动手边动脑，通过小组讨论、合作交流得出成轴对称的概念以及理解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.

3. 尝试应用，巩固中理解

活动5 智力大闯关

第一关：如图3，△ABC与△DEF关于直线m成轴对称，点A的对称点是点_____，∠C是_____°.

生16：△ABC与△DEF关于直线m成轴对称，即△ABC与△DEF完全重合，所以点A的对称点是点D，∠C=∠F，∠A=∠D. 因为∠D=65°，所以∠A=65°. 又因为∠B=35°，再根据三角形的内角和为180°，得∠C=80°.

第二关：欣赏图4这幅风景画，你能找出成轴对称的两个图形吗？

第三关：猜数字游戏，如图5，这两组图形是两个数在镜面中的成像，猜猜这两个数分别是多少？

第四关：推理，根据自己发现的规律，画出图6中下一个图形的形状.

（学生在合作、交流中闯过了这四关）

评析：变式教学理论认为，概念性变式教学突出对概念内涵的理解，注重概念的情景引入、语言转换等，逐步从概念的“标准变式”转向概念的“非标准变式”，使学生获得对概念多角度的理解. 前面两个环节都是在“标准变式”下的理解，学生在这种状态下对概念的理解不会太深刻. 在“非标准变式”下，通过变式来剖析数学概念，能凸显对象中隐蔽的本质要素，加深学生对概念理解的全面性. 在这个环节，用闯关的形式通过欣赏、猜想、推理等说明生活中成轴对称的美无处不在，同时培养学生的数学应用意识以及推理分析能力和空间想象能力，在这个过程中能加深学生对概念本质的理解.

4. 放飞想象，创造中理解

活动6 智慧大比拼

放飞你的想象，动手创作出富有特色的轴对称图案.

（有的学生用纸叠，有的学生画画，有的学生用剪刀剪，还有的学生把墨水滴在纸上折叠再打开……）5分钟后的展示有花篮、纸鹤、衣服和裤子、青蛙、用墨水做的花朵……

评析：学生对数学概念的理解表现在两方面，一是对概念做表面加工（只注意概念表述的准确词句）；二是对概念做深入的心理加工（对概念的意义做深刻的思考）. 理解型教学追求的是学生对数学概念的“深加工”. 活动6是通过学生的创造，加深对数学概念的意义做深刻的思考，从而培养学生的审美情操和审美能力.

5. 解决问题，应用中理解

活动7 素养大提升

（1）观察图片（动画展示），并领会其中的数学道理.

飞机的对称使飞机能在空中保持平衡；闹钟的对称保证了走时的均匀；人的眼睛的对称，使人看物体更加准确、完整……

（2）画出图7中各图形的对称轴.

（3）剪一张圆形纸，试用折叠的方法找出它的圆心，并简述折叠过程.

评析：数学概念理解的价值在于应用，在应用中理解，在理解中应用. 学生只有对数学概念运用自如才能深刻理解，也只有深刻理解才会运用自如. 这个环节的（1）利用教育技术的动态演示功能使本节课的概念本质特征具体、直观、形象，促进和加深了学生对概念的理解，并且为学生的理解创造了各种各样的条件；（2）（3）运用变式突出了概念的本质属性与非本质属性，能帮助学生理解概念的内涵.

思考与建议

本节课围绕数学概念的理解组织和展开：教师为帮助学生理解“轴对称图形”和“成轴对称”这两个概念的本质属性进行教学，创设学生熟悉的生活情景，学生在生活中感知、理解概念；让学生通过动手操作、自主探究、合作交流建构数学概念，从“标准变式”的维度理解概念的内涵与外延；让学生通过欣赏、猜想、推理等方式，从逆向思维——“非标准变式”的维度全面理解概念的本质特征；让学生通过对概念的“深加工”——创造性地应用，理解概念的意义，学习数学地理解. 整个教学充满“理解数学、理解学生、理解教学”的课程观，既遵循了概念教学的规律，又符合初中生的认知特点，注重培养学生的形象思维和抽象思维；重视以数学活动为载体，完成概念的内化，完成基于数学本质的概念教学活动. 数学概念理解型教学应做到以下三点：

1. 在体验数学概念产生的过程中感知、理解概念

在课堂教学中，理解是一种个性化的、自我实现的行为. 实施数学概念理解型教学的核心就是要创设一种学习环境，让学生有机会参与思维和行动，学会如何理解. 数学概念具有高度的抽象性和概括性，如果让初中生直接理解，肯定会存在很大困难，所以在数学概念的引入时，应从实际出发，创设情境，提出问题. 通过与概念有明显联系、直观性的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识；通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；通过为学生提供一些实物、模型、教具、教学软件等丰富的数学学习材料，让学生有充分的时间对具体事物进行操作，使他们获得学习新概念所需要的具体经验，通过自己的思维活动形成对概念的理解.

2. 在挖掘数学概念内涵与外延的基础上意义理解概念

概念内涵就是指反映在概念中对象的本质属性；概念外延是指具有概念所反映的本质属性的对象. 每一个数学概念都有其确定的内涵和外延. 数学概念理解型教学的实质在于对数学概念的内涵与外延的意义理解，在帮助学生获取知识的同时，引导学生建构知识的意义，进而理解世界的意义.

（1）通过标准变式揭示概念内涵，突出理解概念的本质属性.

数学概念的教学要经历“具体——抽象——具体”的认识过程，即“概念的外延分类—概念内涵的归纳、概括——概念的外延辨析”的认识过程. 在这个过程中，从数学概念的正面对数学概念的内涵与外延进行尽量详细地“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握得更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等.

（2）通过非标准变式拓展外延，加深理解概念的不变内涵.

学生对某一数学概念的全面理解要遵循“循环反复螺旋上升”的学习原则；要历经“实践——认识——再实践——再认识”的过程，这是个“正确”与“错误”摇摆不定的过程；更是一个对概念的理解不断深化的过程. 标准变式虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延，使得学生不能透彻地理解概念. 解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准变式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性，同时，通过非标准变式与标准变式的比较，帮助学生理解概念的本质属性.

3. 在运用数学概念解决问题的过程中深度理解概念

对数学概念的深刻理解，是提高学生运用能力的基础；反之，也只有通过运用，学生才能加深对概念的认识，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延. 数学概念形成之后，通过具体的、创造性的运用，说明概念的内涵，认识概念的“原型”，引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用是数学概念理解的一个重要环节，此环节操作的成功与否，将直接影响学生对数学概念的巩固，以及解题能力的形成. 学生通过对问题的思考，能尽快投入到新概念的探索中，从而激发学生的好奇心以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造. 除此之外，教师还可通过反例、错解等进行辨析，这也有利于学生巩固概念.

总之，数学概念理解型教学重视知识所表征的意义或事物意义的获得，主张通过知识的建构和意义的赋予，发展和丰富个体的意义世界.