解题教学中教师应做些什么

[摘 要] 解题教学我们要做些什么？南通市教科研中心袁亚良老师对这个问题给出了明确的解答，他认为材料的组织要不断锤炼，精益求精，学生的活动要精心组织，精确调控.同时要注意解题教学思维的三个层次：策略性解决数学问题的思维层次，功能性解决数学问题的思维层次，以及特殊性解决数学问题的思维层次.

[关键词] 解题教学；课前导入材料；思维层次

去年11月底，笔者应邀去如皋港城实验学校参加关于“解题教学”的研讨活动. 在这次教研活动中， 共展示了四节公开课，其中两节一次函数的应用，两节二次函数的复习. 在评课的时候，南通教科研中心袁亚良老师作了关于“解题教学中教师应做些什么”的精彩发言，笔者听后感觉收获很大，现将袁老师发言整理成文，与各位同行分享.

材料的组织要不断锤炼，精益求精

1. 小小变动，效果迥异——关于活动材料的组织

一次函数应用这节课，何老师和陈老师的课堂设计貌似相同，其实不然，两人所选的材料虽然一样，但材料出现的先后顺序不同. 正是这一点点顺序的不同，就可能造成教学效果的不同，我个人倾向于何老师组织材料的方式.

在平面直角坐标系中画出小明和小亮离家的路程和时间之间的关系图象，相对来说比较简单，比较好画. 第二个问题要求甲、乙两人之间距离与时间的函数图象，这个比较难，听了陈老师这堂课以后，听课老师明显感觉这堂课里面学生的“夹生饭”比较多.

附：何老师的活动1设计

活动1：以数解形

1. 小明刚离开家门去学校时，发现小亮在他前面100米处，于是小明开始追赶小亮，在追上小亮后，因为小明要赶到学校值日，于是小明立即按原速度步行去学校，而没有等小亮. 已知学校离小明家的路程为1200 m，小亮的速度为4 m/s，而小明的速度为6 m/s，你能在下列坐标系中画出小明和小亮离小明家的路程和时间的关系的大致图象吗？

2. 此时若设两人从小明离开家至其中一人先到达学校的过程中，小明、小亮两人之间的距离为y（m），时间为t（s），那么y与x之间的函数图象是（ ）

陈老师的活动1设计

活动1：以数解形

1. 甲、乙两人准备在一段长为1200 m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是6 m/s和4 m/s，起跑前甲在起点，乙在甲前面100 m处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两人之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（ ）

2. 变式：以上条件不变，你能在下面的坐标系中画出两人同时起跑至甲、乙都达到终点的过程中，甲、乙分别离起点的距离y1，y2与时间t的函数关系的大致图象吗？

2. “小明”还是“刘翔”——关于活动材料的选择

陈老师导入这节课的时候，所采用的材料是用函数关系式表示刘翔夺冠那场比赛. 何老师的课堂导入直接采用函数关系式表示小明从学校回家路程与时间的关系. 对比两位老师的课堂导入材料，袁老师也做了精彩的指导.

袁老师说，数学教学的三维目标之一是情感、态度、价值观，但是这个目标并不是通过模块来实现的，是镶嵌在整个教学过程中的.

陈老师的公开课中，有一段刘翔材料的内容，袁老师说，这段内容完全可以留给政治老师带领学生去理解，数学老师需要做的，是使得情境的创设花费的时间最少，取得最好的效益，消除对课堂教学影响的负面的元素. 比如讲到奥运会，讲到刘翔，讲到他的脚扭伤了，学生会在想，我当时看电视也是这样子的，学生的思想就不集中在一次函数的应用上面了. 所以在课堂教学中，在进行组织教学之前，首先要洗课，把无效信息排除掉，使得所选的材料为教学服务.

课堂上也好，试卷上也好，当需要用到某个人名的时候，常常用到小明、小张等，为什么？因为这样做的代价是最小的，小明、小张这些人名不会将学生的思维迁移到其他地方去，学生的思维就会凝聚在课堂教学内容当中.

人名仅仅是一个符号，你说A也可以，说B也可以，说小明也可以，但是你不能用“刘翔”. 用“刘翔”就会出问题，学生会浮想联翩. 所以课堂教学中要特别注意所选的材料，在激发学生兴趣的同时，要防止学生无意中将注意力迁移到其他地方去，而产生消极影响.

对于活动2的问题，这个问题比较复杂，里面行走的方式有走的，有停的，有直接走的. 这就决定了它的背景是复杂的，图象线条值是综合的，在这样一个线条纷繁的图案中，能够分离出必要的元素，对学生来讲，是比较困难的. 对于这个活动两位老师组织得比较好，由易到难.

从整节课的材料来看，两位老师没有贪多，贪全，材料的量是适中的.

附：陈、何两位老师的活动2设计

活动2：以形助数

小明从家骑自行车出发，沿一条直路到邮局办事. 爸爸从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局办事后沿原路返回. 已知两人离家的距离与时间的函数图象如图3所示. 假设他们出发后经过t min，小明与家之间的距离为s1 m（图中折线OABD），爸爸与家之间的距离为s2 m（线段EF）.

（1）你能确定s1、s2与t之间的函数关系式吗？如能写出，请同时写出各函数自变量t的取值范围.

（2）小明从家出发，经过多长时间能在返回途中追上爸爸？这时他们距离家有多远？

学生的活动要精心组织，精确调控

1. 对学生活动组织要精确调控

老师不能布置任务后，就让学生放野马似的来活动，有些活动是可以的，有些是不可以的. 教师有一个主导作用，在学生思维的关隘之处，给予恰当的指导.

（1）将解题的不法行为纠正为合法的解题举措

在听课的时候，常发现有些学生的回答是不科学的，尽管他的答案是对的，这时老师就要给他一个指点.比如对函数来讲，从图象看出它的解析式，这个按道理来讲应该由点的坐标用待定系数法. 现在有些学生看着图象把它解出来，但这样解是错的，为什么呢？他没有按照规范的程式走，他的思维是凌乱的，此时需要老师来校正他不规范的解题行为. 要求出两条直线的交点，方法是什么？建立这两条直线的方程，或者叫线段方程，然后解方程组得到函数解析式.

（2）把零星的解题信息组装为有序的解题策略

有些学生从图象中得出信息1、信息2、信息3，但这些的思维是紊乱的，这时需要老师帮他将这些信息进行有序的梳理. 比如说画一个表格，甲的路程怎么样，乙的路程怎么样，甲的速度怎么样，乙的速度怎么样，按照路程、速度、时间，要有这样一个有序的梳理. 常常在课堂上，学生回答，我看到信息啦，我看到2000，300，50秒……学生的这些信息是凌乱的，老师这时候需要帮助学生把这些零星的信息归类，将这些信息规范、条理化之后，就正是让学生形成科学的解题方法的时候，这样一个过程可以为学生在以后的解题过程中指明思维的方向.

（3）把学生凌乱的思维化为有序的、科学的思维

有的学生虽然把题目结果解答出来了，可能是瞎猫碰了个死老鼠或者说他的思路是凌乱的，这位学生解题的时候正好抓了个有效的信息，他做另外一道题的时候，他又会杂乱无章地去思维，又会在解题过程中没有程式地去走，这样往往使得我们的解题教学事倍功半，所以我们这里科学的指导是很有必要的. 学生不规范的解题行为如何规范化、合法化？这是教师组织学生活动时需要去思考的问题.

2. 精心组织学生的活动

怎样利用“活动单导学”来组织学生的活动Xze+A8vnl4r4qjIksJGI1g==，这是至关重要的.

如皋的教学模式，叫活动单导学，活动在前，说明活动很重要，除了通过活动单告诉学生要活动的内容之外，怎样组织这个活动也重要. 今天教研活动的主题——解题教学，既然是解题教学，就要留给学生充裕的思考时间，从听课的技术上说，叫时间等待，给学生充裕的思考时间，让学生理清题意. 比如说，一次函数这堂课里面，我觉得起初的时间等待不够长，应该让学生搞清楚这里涉及哪些变量，哪些常量；反映在图象上有怎样的规律和特征；它们之间有怎样的联系. 要把这些理清以后，才能得到解题的程序.

教师的讲解要雪中送炭，精准到位

学生在活动过程中，通过同伴之间的交流与合作，能够将一些简单的问题在组内消化. 对于一些比较复杂的问题，在小组内找不到解决问题的方法或者求得一个结果，也没法用比较规范的解答过程表达出来，此时学生会迫切需要教师能够给予解题指导，教师此时的讲解就是雪中送炭，此时的教学效果是最好的.

有了恰当的讲解时机，讲解的内容还得做到精准到位，判定讲解内容是否精准到位，可先思考以下几个问题：①老师的讲解有没有揭示解决问题的基本规律？②有没有提炼解决问题的基本思路、方法或者通性通法？③有没有在众多解法中择优？④有没有在我们题目解完之后进行反思？⑤有没有在我们题目解完后进行变式？如果这些都没有做到的话，那么教师的讲解就谈不上精准到位.

关于解题教学的三个思维层次

1. 解决数学问题的三个思维层次

解决数学问题分为三个思维层次：策略性解决数学问题的思维层次，功能性解决数学问题的思维层次，以及特殊性解决数学问题的思维层次.

（1）第1层次——策略性解决数学问题的思维层次

在今天二次函数复习课的活动2里面，利用二次函数解决相关问题，当我们这个题目出来之后，拿到这个题目的第一个念头是什么？运用二次函数知识解决相关问题，其实呢，什么都没解决，但是他明确了解决问题的方向——需要运用二次函数去解决，在这样一个大的背景下，在这样一个指导思想的指导下，我们来实施后面的解题行为，这里“第一个念头”实际上就是解决数学问题思维层次的第一个层次，叫策略性解决数学问题的思维层次.

（2）第2层次——功能性解决数学问题的思维层次

一次函数的应用这节公开课当中，有两个活动：活动1，以数解形；活动2，以形助数，这实际上是功能性解决数学问题的思维层次. 第一个层次很显然，你是用函数知识解决这个问题，或者用一次函数解决这个问题，就完了，但实际上什么都没有解决，于是就有了第二个层面，什么呢？数形结合法！这就是功能性解决数学问题的思维层次.

（3）第3层次——特殊性解决数学问题的思维层次

一次函数的应用里面，活动2里面，小明从家中出发，经过多长时间……这个就聚集到了我要建立一个小明和他爸爸的，反映他们行动轨迹的一个函数解析式，然后去解方程组，这就是特殊性解决问题的思维层次.

2. 关于解题教学三个思维层次的教学

袁老师说，在解题教学中，缺少的往往就是第一和第二层次，老师或者学生往往都期望在短时间内能结束战斗，直接切入到第三层次，于是学生回答问题的时候，“老师，这么的……”，“作××的平行线”，“老师，怎么怎么解”，然后他把解题过程给出了. 如果在这时候，老师能够再追问一句，“你为什么这么想到的？”这就追到了第二层次，再追问就回到第一层次.

目前解题教学中，缺少的就是这么一种居高临下的解题指导，于是学生都陷入题海不能自拔，他们只能通过对大量题目的练习解答，来达到解题能力的提高，而不是在我们构建之下的宏观调控，宏观的解题策略去指导，于是解题都是就题论题.解完题之后干什么呢？“好，下面我们一起来做下一道题目”，这个问题出在什么地方呢？就是我们对解题缺少研究，缺少解题之后的反思、拓展和延伸.

在解决应用题的时候，当实际应用出来之后，产生的第一个念头就应该是建立目标函数，或者是建立方程解决这个问题. 在这个框架之下，再来实施第二个方案——怎样建立方程？怎样建立函数？这就进入第二个功能性解题. 怎么进行功能性解题呢？是通过数形结合，还是通过待定系数法？那么接下来就到了第三个层次. 我们老师解决问题的时候，不是从上往下讲，全部是从最基层开始做起，最后解完的时候，只能解一解，不能会一片. 只有明确解决数学问题的三个思维层次后，我们的解题教学才有理论上的指导.