谈一道平面几何试题的一题多变

[摘 要] 在教学中，要想提高学生的解题能力，除了抓好基础知识、基本能力的学习与培养外，更重要的培养途径就是解题实践，就是遵循科学的解题顺序，有目的、有计划地引导学生亲自参与解题实践过程，学会解题，从中获得能力.一题多变教学可谓效果良好的一种解题教学方法，本文将阐述如何通过对一道平面几何试题进行一题多变教学，让学生受益匪浅.

[关键词] 平面几何；一题多变

在教学中，要想提高学生的解题能力，除了抓好基础知识、基本能力的学习与培养外，更重要的培养途径就是解题实践，即遵循科学的解题顺序，有目的、有计划地引导学生亲自参与解题实践过程，学会解题，从中获得能力. 解答完一个数学题时，教师有必要对该题的内容、形式、条件、结论做进一步探讨，以真正让学生掌握该题所反映的实质.

笔者在教授初中数学平面几何时，曾遇到这样一道题，在课堂教学中，笔者稍微将其变换，便得到了不同“包装”的平面几何试题. 通过一题多变，学生对这一类试题也有了较深刻的印象，课堂达到了前所未有的效果，笔者现将其整理出来，愿与读者共享.

例题再现

例题 如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证：

（1）CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·AB；

（3）设AB的中点为M，求证：AC2-BC2=2DM·AB.

第一问解题思路较简单，绝大多数学生都能够做出来，第一问的结论也称之为“射影定理”；对于第二问和第三问，相当一部分学生没有思路，在经过笔者提示后，多数学生给出了如下答案：

（3）因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-（MB-DM）=2DM，所以AC2-BC2=AD·AB-BD·AB=（AD-BD）·AB=2DM·AB.

至此，倘若笔者就此打住，此题也就丧失了原有的价值.容易发现，以此题为背景的各类试题经常在各类考试中出现，学生对于解决以此题为“模板”的各类试题仍有不少困难.基于以上原因，笔者对此题进行了一系列引申.

变式1？摇 如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：

证明：由已知条件，易得∠ACD=∠ABC，由CE平分∠BCD，得∠BCE=∠DCE.因为∠AEC=∠ABC+∠BCE，∠ACE=∠ACD+∠DCE，所以∠AEC=∠ACE.所以AE=AC.由射影定理，AC2=AD·AB，所以AE2=AD9b2c128debba24f93a427df45c0bab1600231d441e289587473ae110da47563e·AB.

变式5 如图5所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，求证：CE∶EB=CD∶CB.

变式6 如图6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥AB交BC于点G，求证：CE=BG.

证明：过F作FH∥BC交AB于H，又FG∥AB，所以四边形FGBH是平行四边形，所以BG=FH，且∠B=∠FHA.由题设，可得∠ACD=∠ABC，又AE平分∠BAC交BC于E，所以∠CAF=∠HAF. 所以△AFC≌△AFH，所以CF=HF=BG.又∠CEF=∠B+∠BAE， ∠CFE=∠CAF+∠ACF=∠BAE+∠AHF=∠BAE+∠B，所以∠CEF=∠CFE，所以CE=CF. 故CE=BG.

变式7？摇 如图7所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，FG∥BC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形.

此题仍是在变式5的基础上增加了一条平行线. 证明过程类似于变式6，在此不再重复，易得四边形CEGF是菱形.

变式8 如图8所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，延长CB到E，使EB=CB，连结AE，DE，求证：DE·AB= AE·BE.

证明：由射影定理，CB2=BD·AB，因为EB=CB，所以EB2=BD·AB，所以EB∶BD=AB∶BE. 又∠EBD=∠ABE，所以△EBD∽△ABE. 所以EB∶AB=DE∶AE. 所以DE·AB=AE·BE.

变式9？摇？摇 如图9所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证：AF=2FE.

证明：此题在变式6的基础上作了进一步变换，过点E作EM⊥CF，M为垂足，如图10所示，则AD∶DB=AC2∶CB2=4∶1. 又DB∶EM=1∶2，所以AD∶EM=2∶1，△ADF∽△EMF，所以AF∶EF=AD∶EM=2∶1，所以AF=2EF.

至此，笔者讲解结束，就笔者所知，以该道例题为“母题”的试题变形不下五六十道，笔者虽在此只讲解了九个变式，可在讲解过程中，学生明白了“一题多变”的道理，在一定程度上学生有了“以不变应万变”的底气，这也是笔者在讲课之前希望达到的效果.