忽如一夜春风来千树万树梨花开

[摘 要] 本文从五个方面来探讨在数学教学中学生的顿悟如何激发以及各种方法在数学教学中的应用.

[关键词] 数学教学；学生顿悟；激发方式

在数学学习过程中，顿悟非常重要，是分析和解决实际问题能力的一个重要手段，对于开发学生的智力是一个不可忽视的因素. 因此，在数学教学中，重视顿悟能力的培养，对培养学生的创新精神和创造能力是至关重要的.

华罗庚教授指出：“数学顿悟是可以后天培养的.” 任何数学问题的解决，都离不开数学顿悟的引导作用. 它都是数学逻辑思维、直觉思维和顿悟交替作用的结果. 数学逻辑思维、直觉思维是数学顿悟的基础. 它们促进了数学顿悟的认知结构由低层次向高层次发展，从而促进了数学顿悟的产生和发展. 笔者就平时教学过程中培养学生顿悟思维的一些做法进行探讨.

强化逻辑思维训练，激发顿悟

任何数学顿悟的产生和发展都离不开该领域的基础知识. 学生只有具备了一定的知识储备和良好的认知策略，才能去想象、去联想、去发散、去求异，才能产生数学顿悟. 逻辑思维就是以分析、综合、比较、抽象、概括和具体化作为思维的基本过程，从而揭露事物的本质特征和规律性联系. 因此，在教学过程中，教师应帮助学生在掌握知识的过程中，主动地建构功能良好的数学认知策略.

例1 解方程组：

加强直觉思维训练，激发顿悟

直觉思维对顿悟的产生有着重要的作用，在教学中注重直觉思维的训练有助于学生对数学的理解运用.

例2 如图1，已知在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，AC，AB边上的中线，G是重心，AG=6，BG=8，CG=10，求△ABC的面积.

直觉告诉我们，三个数据6，8，10不就是勾股数么，于是产生顿悟，以6，8，10为长的三线段构造一个直角三角形，延长GD至G′，使得G′D =GD，连结G′C，易证GG′=AG=6，△GDB≌△G′DC. 所以G′C=BG=8，所以△GG′C是直角三角形. 所以△GG′C的面积是6×8÷2=24. 所以△ABC的面积为72.

事物的特殊性中包含着事物的普遍性，从事物的特殊性去探求它的一般规律是一种重要的数学方法. 所以在研究某些有关一般值的数学问题而直接解答有困难时，我们可以直接利用特殊值去研究解决，从而促使原问题获解. 特殊法能帮助学生产生解题的顿悟.

例3 如图2，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内. 若AB=4 cm，BC=6 cm，AE=CG=3 cm，BF=DH=4 cm，四边形AEPH的面积为5 cm2，则四边形PFCG的面积为_______cm2.

此题的四边形AEPH和CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难. 由题意可知，四边形CFPG的面积大小只与四边形AEPH的面积大小有关，而与它们的形状无关，因此我们可以采用“特殊”思想来解答. 当四边形AEPH是梯形，AH∥EP时，如图3.

在平时的教学过程中，教师能正常渗透“特殊”思想，训练学生把复杂问题简单化，如果能使它落实到学生学习和运用到数学思维上，它就能在发展学生的数学灵感方面发挥出重要作用.

获得顿悟的过程须经历一个认识的过程，然后逐步提高深化发生“顿悟”，进而产生灵感. 对某类事物的部分对象进行考查，从中寻找可能存在的规律，将这种认识加以推广形成一般性的结论，即对这类事物的某种猜测. 在教学中，相同的数学结构特征往往孕育着相同的数学本质特征. 由条件或结论的外表形象与结构特征， 猜想到熟知的定理和图形，从而找到解题的灵感.

例4 如果一条流水线上有依次排列的n台机床在工作. 现在要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，这个零件供应站P应该设在何处？

此题的难点是：n不是一个具体的值，不容易找到正确的解法. 应该引导学生取具体值，来猜测正确解法.

当n=2时，P应在何处？n=3呢？n=4呢？n=5呢？

通过上面特殊情况，你发现了什么规律？经过归纳，你能得到怎样的猜想？

数学猜想是一种探索性思维，它与数学灵感有密切关系. 波利亚说：“先猜后证——这是大多数问题的发现之道”；“预见结论，途径便可以有的放矢”. 所以，加强数学猜想的训练对提高学生的灵感能力是十分有益的.

在教学中，教师应结合教材内容，从新知与旧知、本类与它类、纵向与横向等方面引导学生展开联想，弄清知识之间的联系，以拓宽学生的知识面，开拓学生的思维. 例如，求一次函数y=3x-1与y=-3x+5的交点的坐标，可以利用图象法求解，也可以利用求方程组3x-y-1=0与3x+y-5=0的解得出. 不同的解法既可以揭示出数与形的联系，又沟通了几类知识的横向联系. 在教学中有意识地引导学生一题多解，让学生用不同的思路、方法来解，有利于培养学生思维的广阔性. 另外，有意通过一题多变、一题多答等具有发散性的题型进行训练、培养学生思维的创新性. 在实际数学中，让学生结合实际问题自编题目，也有助于创新性思维的培养. 对于学生思维能力，特别是创新性思维能力的培养，是一个复杂而系统的领域，还需要我们在教学中不断探索、总结，再探索、再研究才能取得很好的效果.

例题教学是数学教学的重要组成部分，是学生的数学知识转化为能力的重要教学环节. 书中的例题，有很强的示范性、探索性、典型性等特征. 书中的例题，有的是为了加深公式、定理、法则的理解，有的是为了启发学生的思维等. 教学时，要向学生介绍合理的解题过程、科学的思维方法. 因为很多例题，都蕴涵着值得我们去深思、探索的问题，这就需要教师进行创造性的加工，注重以例题为原型进行恰当的拓展. 通过拓展，培养学生思维的变通性，能触类旁通，举一反三；通过有意省去命题的结论，使学生由题设先探索结论，再进行说理或计算等.

例如，已知，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点.已知点E，F分别是OA，OC的中点，试说明BFDE是平行四边形. 教师在引导学生完成说理过程后，可再将此题进行拓展，创设如下问题情境.

问题1：若E，F不是中点，而是满足AE=CF，能否得到BFDE为平行四边形？

问题2：若E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，能否以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形？

在此例题的教学中，设置不断变换的问题情境，使学生能运用已有的知识，举一反三，发展了学生的发散思维能力，从而提高学生的数学能力和创新意识.

通过对学生顿悟的培养，学生的思维品质更加全面、深刻，他们在数学解题方面取得了长足进步，我们数学教师在自身素质、教学理念上也有了很大的提高. 我们坚信：顿悟的教学是教学的重要组成部分，正如富克斯所说：“伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都是由猜测得到的，换句话说，大都是从创造性的顿悟中取得的.”