“有理数”教学实践与反思

[摘 要] 有理数是初中数学的基础，对其概念的引入、教学直接影响今后的学习，笔者结合自己的实践经验，从教学设计、实施、反思三方面进行了详细阐述.

[关键词] 初中数学；有理数；教学实践；反思

有理数是初中数学的基础知识，因为是基础，所以有时我们往往容易忽略这个知识在实际教学中所遇到的困难，因为是基础，所以我们往往有时容易认为学生会很轻松地学会这一知识. 可事实上，根据笔者的教学经验，本知识点虽然看起来简单，但因其与学生原来所学“数”的概念具有很大的差异，因此学生在初学时其实并不会感觉有多容易. 而且根据实际工作情况来看，在数学教学中如果忽略了这种复杂性，将会对学生的实际学习情况产生不准确的判断，因而造成对学生学习情况的错误判断，从而造成最终不利于后面知识学习的结果.

鉴于这一认识，笔者在近几次的教学实践中不断反思，形成了对学生学习情况的把握，以及对教学过程相对系统的认识，现简述如下.

对“有理数”教学设计的思考

从知识目标的角度来看，有理数属于基本的关于“数”的数学范畴，作为“数”的教学，我们知道一般学生已经具有比较完整的整数、分数、小数的概念，也熟悉了相关的运算法则. 但根据我们的教学观察，发现有理数学习的难点体现在负数的出现及其运算规则两个方面. 具体地说，包括如下几个问题. 第一个问题，为什么要引入负数？第二个问题，负数在实际生活中有什么实际意义与运用？第三个问题，负数的运算规则与已经学过的运算有什么区别与联系？这三个问题看起来都不在考试范畴，但却是学生建立有理数概念必须思考的问题. 不搞清楚这些问题，学生对知识的建构过程就不会完整，学到的知识就会处于一知半解的地位，而笔者的教学经验与一些同行的研究结果均表明，只有建立对类似问题思考与解决的基础上的有理数概念才是扎实、牢固的，也才能在以后的知识学习中熟练地运用.

另外，从过程与方法、情感态度与价值观的角度来看，笔者倾向于通过学生的亲身体验建立初步认识，然后教师通过有意义的讲授帮学生建立概念的方式，这样既体现了新课程标准提倡的教学方式，更重要的是可以让学生在亲身体验中获得认知. 这里所说的亲身体验主要不是指让学生亲自参与某些数学体验（虽然其中也包括一些学生活动，但我们认为这只是形式），我们强调的学生亲身体验是指教师在提供了相应的教学情境之后，让学生希望能够运用思维在一定的情境中产生一些经验性的东西.

笔者以为，只有在这样的情境中构建出来的数学概念，才可以说是以学生的亲身体验出的思维结果为基础的，这样的思维结果，一方面与所要学习的有理数高度相关，另一方面又以显性或隐性的形式存在于学生的思维之中，成为支撑有理数概念的坚实基础. 同时，在这个体验过程中，学生会产生相应的情感体验，尤其是思维顺利时的兴奋与思维阻塞时的烦恼，都会成为学生数学学习过程中有意义的过程. 经常有学生告诉我，在经历思考之后能够将一道题解答出来是一件让人兴奋的事情，我想这就是学生值得珍惜的数学学习体验过程. 当然，也可以让他们认识到，包括有理数在内的任何一个数学概念或法则的建立均不是一件容易的事情.

对“有理数”教学实施的思考

按照上面的思考，笔者和同组教师进行了一些尝试. 我们注意到，在具体的教学实施中，学生的思维展开基本上都是按笔者预设的思路发生的，这说明我们的教学设计是有效的，当然也出现了一些可喜的生成，这些生成的可喜的东西也证明了我们的教学具有适度的开放性和包容性. 笔者课后对教学过程进行了一番梳理，在保持课堂原样的基础上对课堂上包括负数概念的建立和有理数的运算法则等几个重点进行了反思，赘述如下.

1. 数学教学情境的创设

上面已经说过，笔者设计这一节课时是以学生体验的方式创设情境的，最主要的目的就是要让学生感受到引入负数有着明显的必要性. 关于这一点，在集体备课中组内同事提出了多种创设情境的方式，主要都是围绕“生活中有些场合会出现有增有减、有正有负的情形”来思考，从思路上来讲，当然是正确的. 当然也是传统的，因为传统且因为有可能是困在传统中走不出去，因此最初的讨论结果并不能让所有人都满意. 比如有老师提出可以用家庭中的收入与支出来创设情境，后来通过讨论，认为一方面家庭收支的情形学生并不太熟悉，而且其中涉及具体的购物消费等情形，有可能会让学生的注意力发生分散，从而不利于将思维集中到负数概念的建立上来. 还有老师提出用球类比赛中的胜负来表示得分和扣分，但很快也被否定了，因为负的一方只是不得分，一般不会扣分，因此出现不了“负”的情形. 后来笔者提出不如走一条更简单的创设情境的道路，就让某个学生在教室讲台前面走路：先确定一个出发点，赋予其类似于数轴上原点的含义，当其前进时为正，每一步记作单位1. 在学生理解了的基础上，向学生提出问题：“如果该同学后退，那我们该如何计数呢？”这个方案得到了同事的肯定，认为可以尝试并观察结果如何.

根据我们的教学经验，在实际学习的过程中，不少学生对于这一问题的回答可能出现片刻的困难. 在这种情况下，笔者再举出生活中的另一事例帮学生思考：在我们的温度计中，当天气较热时，温度计的液面在0的上面，到了寒冷的冬天，温度计的液面便会跑到0的下面，这个时候我们把天气的温度叫做什么呢？在这一事例的类比之下，学生往往会自然而然地出现“负”的想法，并且用“负”的思想去描述后退几步时的计数方法.

通过这两个事例的类比，再加上教师适时的引导与归纳，学生就可以产生一种类似于默会知识的想法：当一些场合存在正、反两个过程时，反的那个过程可以用“负”来描述. 学生有了这种意识之后，教师要留一两分钟的时间让学生消化这个观点，以确保下面的学习过程当中能够相对熟练地运用.

2. 有理数加减法则的建立

以前的教学经验表明，如果基于正负数概念直接给学生讲授有理数的加减法则，学生也有可能会记住，在后面的学习中再通过习题的重复训练，可形成一种解题技能. 但这样的教学行为常常被认为是灌输的教学方式，容易招致批评；同时，这种教学方式还有一个问题，就是学生缺少必要的生活根基，这会影响他们理解运算规则. 那我们能否让这个知识的学习再生动、形象一点呢？在结合对不同版本教材的学习与思考的基础上，笔者提出了这样的教学策略并付诸实施：

在上述学习情境的基础上，提出新的问题——假如这位同学先走了5步，后走了7步，那最后的结果应该记作多少呢？这个问题相对于上面的问题而言，其实是一种更为深入的递进关系，可以让学生更深入地思考这个问题. 同时，这个问题又基于前面的情境，可以让学生结合原来的思路进行深化，从而为运算规则的学习服务.

在具体的教学实施过程中，对于这一问题，笔者首先让学生独立思考，大概三分钟之后再让他们在小组之内进行交流. 在此过程中，笔者深入各小组当中倾听他们的想法，收集他们的思考结果. 最后，我让小组代表到黑板上写出他们小组的收获. 在这个过程中，分析得出全部情况并准确地说出结果的表示方式，是负数概念形成并深化的关键. 根据教学经验，我们可以将学生的思维分成两种：一是学生完全分析出四种情况，即先前进再后退、先后退再前进、先前进再前进、先后退再后退，如果是这样则可采取分析综合的策略，直接让学生将获得的经验转换成数学表达式，从而形成运算法则；二是学生能够分析出其中一种情况但无法完全分析出四种情况，这时就需要教师引导学生分析已经得出的情况，然后以变式思想提出其余的情况，再进行分析.

这一过程涉及数学建模，涉及过程中的正负确定以及结果正负的确定，自然也就隐含着运算规则，当这种规则明确体现出来时，关于有理数的运算法则也就生成了.

“有理数”教后反思

对于有理数这样的看似简单的知识教学，我们在进行深入思考之后发现，其中存在着很多非常有意思的地方，而且，这里还不仅仅是有意思，更是有思考意义的. 比如说，生活经验和数学教学研究告诉我们，负数的呈现其实不只是形式，更是一种思想，是生活中正负的描述. 接受了这一思想，现在生活中接触到“正能量”和“负能量”等概念时，就能迅速理解其含义了，有过有理数学习经历的人，往往在听到这两个词语时，就知道其在具体的语言环境中是什么含义. 而关于其运算法则，其实是对学生已经掌握了的运算规则的一种拓展，也是生活规律的一种体现. “同号数相加取相同符号，绝对值相加；异号数相加取绝对值大的符号，绝对值大的减绝对值小的”这样的规则作为最终的生成，不能忽视其生成的土壤与过程，这样就可以为学生在数学学习中积淀更多的数学素养. 从这个角度看，笔者设计的教学中加强情境创设是有意义的.

值得强调的是，情境必须是学生看得懂的情境，过多的花样、过繁的过程有时看起来好看，却起不到情境促进学习的效果，大道至简是情境创设的必要原则，教学设计与实施中不能忘.