备课参考一道课本折叠试题的设问方式探究

[摘 要] 本文围绕新课程理念，从分析课本例题入手，以问题为载体，开展多角度探究，剖析解题思路，渗透数学思想方法，并进行变式设问，培养学生的解题能力和求异思维，从而促进“学生全面、持续、和谐的发展”.

[关键词] 探究；新课程；多角度；变式

课本上例题、习题的权威性和示范性无疑是创新变式的源泉，有必要进行反思和深层次的探究，一方面，进行适当地变换、延伸、拓展，能在加深、巩固基础知识的同时，开拓解题思路，培养学生的解题能力；另一方面，能将题目之间的共性及本质的东西进行提炼、概括、升华，增强学生的学习兴趣，开阔视野、丰富思维，培养学生积极探究的精神和创新的能力. 张奠宙先生说过：“没有问题的数学教学，不会有火热的思考. ”数学源于问题，问题是思维的起点. 所以在课堂教学中，应以学生合作讨论交流为前提，以教材为基础，以问题为载体，在教师的启发、指引下，学生通过观察、猜测、推理、验证、交流等有效的数学活动，积极发挥自主能动性，经历数学知识的形成与应用过程，掌握方法，培养能力，达到举一反三、触类旁通的目的.

题目引入

在数学课本110页（人教版八年级下册四边形）有这样一道习题：

如图1，四边形ABCD是矩形， BC=4 cm，AB=3 cm，将矩形纸片沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE. 四边形ABDE是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？

分析 本题的综合性较强，考查的知识点较多，对学生的推理能力和思维要求较高，须降低难度或改变设问方式，以增设低起点问题的形式，供数学能力层次低一些的同学作答，从而促使学生的思维向深层次、多角度、多方面发散，引导学生积极、主动探索知识的形成、应用过程，有意识地展现教学中师生思维互动的活动过程，培养学生独立分析、解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，体现“实现人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念，真正把学生的能力培养落到实处.

题目设问方式

皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构过程. 新课标强调，要培养学生的自主探究能力，能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识和应变技巧. 要根据教学内容和目标要求，遵循学生的认知发展规律进行基础教学，让学生牢固掌握基础知识，形成基本技能，了解数学的基本思想和体会数学的基本活动经验（即“四基”），从而使学生打下扎实“双基”的同时，学会从各个角度推出新颖独特的解决问题的方法，培养他们解决问题的实践能力，发展他们的创新思维.

1. 基础设问

设问1 （2000山西）如图2，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4.

（1）请说明：BE=DE；

（2）求△BED的面积.

分析 （1）因为折叠前后∠DBC=∠DBC′，且因为平行，内错角相等，所以∠DBC=∠ADB，所以根据角之间的等量代换可知DE=BE.

（2）要想求出三角形BED的面积，根据题中条件，只要求出DE的长即可. 要求DE的长，可利用勾股定理以及（1）的结论.

解答 （1）因为△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，所以∠C′BD=∠CBD. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC. 所以∠CBD=∠EDB. 所以∠C′BD=∠EDB. 所以BE=DE.

（2）设DE=x，则AE=AD-DE=8-x. 因为∠A=90°，BE=DE=x，所以BE2=AB2+AE2，即x2=42+（8-x）2，解得x=5. 所以S△BED=■×DE×AB=■×5×4=10.

点评 设问1引导学生从题目的基本条件出发，读图，分析，有条理地合情推理，试题内容以几何知识点为载体，融几何的基本知识、基本方法、基本技能、基本思想为一体，考查学生的基本推理证明和计算，主要涵盖等角的证明和勾股定理的应用. 试题切入容易，能较好地激发学生解题的兴趣和积极性.？摇

此外，问题（1）还可改变为以下表述方式：试判断重叠部分（三角形BED）的形状，并证明你的结论. 问题（2）的解答还可用作差法解决：△BDE的面积=△ABD的面积-△ABE的面积.

设问2 （2007宁夏）如图3，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE.

（1）证明：BF=DF.

（2）证明：AE∥BD.

分析与解 （1）与设问1（1）一样.

（2）因为△BDE是由△BDC沿直线BD折叠得到的，所以BE=BC. 因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC. 由（1）BF=DF得AF=EF；又由对顶角定义∠BFD=∠AFE，推出∠AEF=∠FBD. 所以AE∥BD.

设问3 如图4，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE.

（1）求证：△AFB≌△EFD；

（2）四边形ABDE是什么图形？为什么？

分析与解 （1）因为△BDE是由△BDC沿直线BD折叠得到的，所以DE=DC，∠BED=∠C=90°. 因为四边形ABCD是矩形，所以AB=DC，∠BAF=90°. 所以AB=DE，∠BAF=∠BED=90°. 由对顶角定义可得∠AFB=∠EFD，所以△AFB≌△EFD.

（2）四边形ABDE是等腰梯形. 理由如下：由设问2（2）得AE∥BD，因为△AFB≌△EFD，所以AB=DE. 又AE≠BD，由等腰梯形的定义可得出结论：四边形ABDE是等腰梯形.

点评 通过三个设问，无论是在试题内容的呈现方式上，还是在解题思路的探寻过程中，试题总是引导过程教学，提高学生的思维层次. 一方面重视学生的思维过程，另一方面则重视数学知识的发生、发展过程，既遵循数学思维规律，又充分反映数学思维的基本特征，体现了新课程所倡导的学习方式.

此外，还可设置以下问题：

（1）图中有哪些等腰三角形？试写出所有等腰三角形，并证明其中一个.

（2）图中有哪些全等三角形？试写出所有全等三角形，并证明其中一对.

（3）图中有哪些相似三角形？试写出所有相似三角形，并证明其中一对.

2. 拓展设问

设问4 如图5，四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线BD折叠，点C落在点E处，连结AE，BE，BE与AD交于点M.

（1）证明四边形ABDE是等腰梯形；

设问5 （2008湖北十堰）如图6，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F.

（1）线段BF与DF相等吗？请说明理由.

（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连结DG，试判断四边形BGDF的形状，并说明理由.

（3）若AB=4，AD=8，在（1）（2）的条件下，求线段DG的长.

分析 （2）四边形BGDF是菱形. 理由如下：由折叠可知BG=BF=DF，因为在矩形ABCD中，BG∥DF，所以四边形BGDF是菱形.

（3）设DF=x，则AF=AD-DF=8-x. 因为∠A=90°，BF=DF=x，所以BF2=AB2+AF2，即x2=42+（8-x）2，解得x=5. 因为四边形BGDF是菱形，所以DG=DF=5.

设问6 如图7，已知矩形ABCD沿着BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4. 若过点E作EF⊥BD于点F，求EF的长.

设问7 （2012广东）如图8，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8. 把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E，F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长.

解答 （1）因为△BDC′由△BDC翻折而成，所以∠C′=∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD. 又∠AGB=∠DGC′，所以△ABG≌△C′DG.

3. 改变折叠方式

设问8 （2010湖南邵阳）如图9，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕.

（1）求证：△FGC≌△EBC；

（2）若AB=8，AD=4，求四边形ECGF（阴影部分）的面积.

（2）在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13. 如图13所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ. 当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动. 若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离.

分析 （1）①先利用翻折变换的性质及勾股定理求出AE的长，再利用勾股定理求出AF和EF的长，即可得出△EFG的面积；②先证明四边形BGEF是平行四边形，再利用BG=EG得出四边形BGEF是菱形，于是可求出FG的长.

（2）如图16，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5. 如图17，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得A′D=AD=13，在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，即132=（13-A′B）2+52，解得A′B=1，所以点A′在BC上可移动的最大距离为5-1=4.

设问11 （2011江苏徐州）如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图18）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图19）；展平，得折痕GC（如图20）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图21）；沿GC′折叠（如图22）；展平，得折痕GC′，GH（如图23）.

（1）求图19中∠BCB′的大小；

（2）图23中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由.

设问12 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图24所示；

第二步：把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图25所示；

第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图26所示；展开图如图27所示.

探究 （1）△AEF是什么三角形？证明你的结论.

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.

（3）如图28，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k<0）.

评析 前面题目的矩形纸片ABCD都是沿着对角线折叠方式进行并提出问题开展探究，通过改变折叠方式，设置问题由易到难，题目综合性增强，透过现象看本质，有利于培养学生的思维迁移能力，进一步激发学生的探索精神和创新意识，并切实反映知识间的串联关系，让学生提升综合解题能力，有助于锻炼学生的逻辑思维，优化思维品质，培养创新精神，增强化生为熟、化繁为简的转化意识.

1. 试题的设问应具有多样性，呈现方式应丰富多彩，有文字、数字、表达式、图形、图象、表格等；试卷题型新颖别致、内涵隽永、难易适中；试题内容上应体现探究性和思考性、针对性，能引导学生积极参与解题和热烈讨论，体现一定的解题思路和分析方法.

2. 试题以初中阶段核心的内容为载体，以四基为立足点，切实关注实际，培养学生能力的同时，加强知识间的纵横类比与区别，且拓宽学生知识面的同时，有利于巩固和加深所学知识的理解，达到活学活用的目的.

3. 试题的设问以多元化、多途径、开放式等为背景，能客观、全面地测试学生观察、操作、比较、概括、猜测、推理等数学活动的水平，从而培养学生动手、动脑的能力，活化思维，让学生从被动接受知识到主动获取知识，探究知识的形成过程.

4. 试题的设问要发挥评价的导向功能，引导教师在教学方式的改变，在不断了解学生的学情和教材的深化研究中修正、完善，进一步提高试题的信度和效度，加强设问的应用性、创新性和综合性，科学、合理、全面地体现新课程精神和学科特点.

数学家笛卡儿说过“我所解决的每一个问题都成为一个模式，以用于解决其他相关的问题. ”就题讲题，教学枯燥；创新处理，师生活跃. 教师要调动学生积极参与学习活动，要充分发挥例、习题的典型示范功能，让学生从不同角度思考问题、提出问题，进而解决问题，可以通过多种方法的证明，优化解题思路，起到举一反三的效果；让不同层次的学生在教师的引导下得到不同程度的提高，同时引起学生强烈的求异欲望和勇于创新的精神，体现“实现人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.