也谈数学基本活动经验

[摘 要] 本文浅谈了数学活动经验的教学，主要从以下几方面进行阐述：营造绿色课堂，让学生无虑；创设问题情境，让学生提问；重视直觉思维，让学生猜想；甄别猜想结论，让学生演绎；引导及时反思，让学生会悟.

[关键词] 数学；基本活动经验；直观判断；归纳；演绎

经验一词，现代汉语词典解释为：由实践得来的知识或技能. 原来数学的“双基”即基础知识和基本技能，完全可以把基本活动经验包含其中，并且基本活动经验是一种“前科学”（产生科学认识前个人对某种事物的认识. 它源于个体日常生活经验，自己对事物的判断、推理等. 它具有个体性、广泛性、自发性、顽固性和隐藏性. 前科学既有正确的认识，又有不正确的认识，因而它对认识事物既可能产生正迁移，也可能产生负迁移），“其特征更多地表现为个性化的，而非普适于所有人”. 数学课程标准（修订稿）把它与数学的基本知识、基本技能和基本思想并列为“四基”，显然是要克服以往数学教学过分强调演绎推理，忽视归纳推理，特别是忽视直观判断的弊端而特意为之. 由于归纳、推理有助于人们发现未知，所以《数学课程标准》修订组组长史宁中教授认为提出数学基本活动经验的根本目的在于培养学生的创新能力.

数学教学是数学活动的教学已被广泛认同成为共识，那么哪些是数学活动？有人认为以往传统的数学课堂中教师的讲授、学生聆听与做作业不属于数学活动，我们认为这种观点是偏激的，但数学活动绝不是单纯的教师讲授、学生聆听与做作业. 数学活动是由“情境问题”驱动的，“问题解决”是其主要的活动形式，课堂中表现为师生交流、生生交流和独立探究，它包括外显的实践活动，诸如观察、实验等尝试活动；模型制作、数学游戏等操作活动；阅读、聆听、答问、质疑、讨论、做习题等常规课堂教学活动，也包括无形的思维活动，并且它是所有外显实践活动的根本，即通过外显的实践活动，培养和发展学生探索、思考、猜测，抽象、概括、归纳、类比，以及分析、演绎、综合、反思等思维活动，从而促使学生逐步学会在生活情境中发现和提出数学问题、发现数学规律并解决这些数学问题.

由此可见，外显的数学活动只不过是数学思维活动的载体，缺少思维活动的课堂活动只是一种没有数学教学意义的形式而已，如简单的“对不对” “是不是”的问话；让学生简单地背诵书中现成的结论；照搬、照抄现成的答案；浮于表象的就事论事讨论等，这些都不是真正意义上的数学活动.

据此，数学基本活动经验就是学生参与数学活动过程中得来的一些基本知识与基本技能，它也包含两方面的经验，其一是外显的数学活动经验，如观察和实验、阅读数学书、聆听数学课、参与数学讨论、做数学习题、制作数学模型、进行数学测量等实践经验. 其二是开展数学思维活动的经验，如基于观察的直觉思维，数学地思考，类比、归纳提出数学问题，建立数学模型，演绎地求解验证等经验. 这是我们重视数学活动经验所必须注意的两个方面. 并且，作为数学教师，让学生学会观察和实验，学会阅读数学书本、学会聆听数学课和学会参与数学讨论，学会怎样做习题，尝试撰写数学小论文，怎样做数学模型或走出课堂进行数学应用调查，进行数学测量等技能、技巧并形成自己独特的经验都十分重要，但仍远远不够. 更重要的是，要通过这些操作实践，让学生在“已有经验的基础上经历和感悟归纳推理和演绎推理的过程，尤其是归纳推理的过程后建立的新经验和更高层次的直观”.

重视数学基本活动经验的教学应该做到以下几点：

1. 营造绿色课堂，让学生无虑

数学活动经验来自活动，学生自主地积极投入数学教学活动是形成活动经验的前提，应创设民主、和谐、宽松的教学氛围，给学生以充分的信任和思考的充分自由（有利于创造的一般条件是心理的安全和心理的自由——罗杰斯），为学生提供主动探究、自主学习、合作学习的广阔时空，激发学生的好奇心和探究欲，消除学生在课堂上因怕老师和同学笑话而不敢主动求索独立思考和提出问题的紧张心理与顾虑.

例如，在学习相似形时，课始教师提出：遨游太空是人类千百年来梦寐以求的，许多神话故事都反映了人类的这一美好愿望，随着科技的迅猛发展，许多神话已逐步变成现实，人类已实现了登月的理想. 中国在太空技术上也取得了突飞猛进——“嫦娥一号”“嫦娥二号”探月卫星发射成功，载人飞船“神舟九号”返回舱与太空轨道“天宫一号”成功对接. 相信只要我们不懈努力，说不定我们同学中将来会有人登上月球. 这里就产生了一个疑问：人在月球上看地球，能见到长城吗？要解决这个问题，就要学习相似形的知识. 这样的课始语，创设了一种信任、宽松、和谐的氛围，为新知学习营造了期待心情和热切探究的愿望，促使学生自主投入新知学习.

2. 创设问题情境，让学生提问

学生的学习活动极大部分是课堂活动. 一成不变的呆板形式，因缺少新鲜感会使学生产生厌倦而不利教学. 要改变这一现状，就要求我们根据学习内容，创设相应情境（生活现实情境，游戏活动情境，已有知识情境等）. 罗杰斯认为：“人的知识是由学习者在一定的情境中，借助他人（教师、学习伙伴等）的帮助，利用必要的学习资料，通过主动建构的方式而获得.” 这说明创设情境只是手段而非目的. 一个好的情境必然隐含与本课学习内容密切相关的问题（故称“问题情境”），它既具有简洁性（以免占用过多教学时间，喧宾夺主），又具有挑战性和探究性；它既可激发学生的兴趣，唤起学生的求知欲望，又能为新知找到“生长点”，使新知的学习不是空穴来风，而是天然合理、水到渠成.

例如，在引入零指数时，可以创设如下情境.

教师：同底数幂的除法法则是怎样的？

教师：利用同底数幂相除的法则，很容易计算出25÷23. 那如果要计算22÷22，能用上面的法则吗？

学生：不能，因为上面的法则有条件m>n.

教师：那么，根据我们已学的知识，你能提出什么问题？

学生：我们都知道22÷22=4÷4=1，这说明如果m=n时，am÷an的结果是存在的.

教师：不妨改m>n为m≥n，则利用法则能得到22÷22等于……

学生：22÷22=20.

教师：由此，你认为20等于多少？

学生：20=1.

3. 重视直觉思维，让学生猜想

学习数学，发展思维，会使人变得聪明，可是以往的数学教学却过分重视严谨性、科学性，过分注意逻辑推理而忽略了直觉思维与形象思维，过分注重结论而忽视过程，过分注意形式化，这就使得作为教学的数学变得严肃、枯燥、乏味. 其实，数学更需要归纳推理、直觉思维. 因为在解决问题的过程中，合情推理（即归纳推理和类比推理）主要用于探索思路、发现结论，更利于创造能力的培养，而演绎推理则主要用于证明结论而已.

（4）在半径为R的半圆内作正方形ABCD和正方形CEFG，其中B，C，E在半圆的直径上，A，F在半圆上，求这两个正方形面积之和. 通过类比正方形ABCD与正方形CEFG等积时，其面积之和为R2，故猜想答案为R2.

（5）由点P是正三角形ABC中BC边上一点，∠APD=∠B，PD与∠ACB的外角平分线交于点D，可得BP=PD. 对于正方形、正五边形、正六边形，是否有类似结论？归纳出对于正n边形同样有类似结论.

有时，借助直觉思维还可以使解题更简洁.

例如，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，两人相遇在距A地10千米处，相遇后，两人速度不变，继续前进，分别到达B地和A地后立即返回，又相遇在离B地3千米处，求A，B间的距离.

其实，本题完全可以列一元一次方程求解. 因为凭直觉，既然两人速度不变，第一次相遇甲走了10千米，首次相遇，两人共走1个全程，再次相遇，两人共走3个全程，故甲共走10×3=30（千米），再从另一角度看，甲共走了A，B间1个全程还多3千米，故设A，B两地相距x千米，列出方程是x+3=30，所以x=27.

4. 甄别猜想结论，让学生演绎

毕竟直觉的结果与不完全归纳的结果主要在于探索思路、发现结论，但这个结论是否一定正确就要求数学教学不能仅仅停留在发现结论上，还应引导学生用演绎的方法去证明结论或否定结论.

例如，数学家费马由Fn=22n+1给出的数：

于是，费马猜想：对任一自然数n，Fn都是素数. 大家对他的猜想确信无疑，但后来欧拉却给出了反例，证明费马猜想是错误的. 其实，F5=4294967297就有因数641，而非素数.

又如，A，B两户人家在马路同侧，且分别距直马路（CD）4千米和5千米，A，B相距7千米，现要从马路旁的电线上接电线到A，B，问电线至少要多少千米？

对于本题，学生往往根据已有解题经验，凭直觉，与“在直线上找一点，使它到直线同旁两定点的距离之和最短”进行类比，得到作点A关于CD的对称点A′，连A′B交CD于点P由此说明，凭不完全归纳或直觉得到的猜想未必一定正确，为了甄别猜想的正误，还必须让学生经历演绎的过程.

5. 引导及时反思，让学生会悟

为了让学生感悟归纳推理和演绎推理，尤其是归纳推理后提升思维品质，就要及时反思内化，使之建立新经验和更高层次的直观.

例如，反思具有中点的几何问题的求解可以得出新经验：

（1）已知三角形一边中点，当它是等腰三角形底边中点或直角三角形斜边中点时，一般添中线；

（2）已知一般三角形一边的中点时，通常添中位线；

（3）当添中线或中位线对证明无助时，往往使这个中点成为相交于这点的两条线段的公共中点，以造成中心对称图形；

（4）已知四边形一边的中点，当它是梯形一腰中点时，添中位线；此外，都是转化为三角形一边的中点去考虑.

例如，如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，DB=DC，点E是AB延长线上一点，直线EM交AC于点F，求证：∠BDE=∠CDF.

分析：根据已有解题经验，首先考虑连结DM（中线），但对证明无助，且本题基本上不必考虑中位线，故必考虑使BC的中点M成为交于这点的另一线段的公共中点. 如图4，在ME上截取MK=MF，连结BK，此时有△BKM≌△CFM. 于是可得BK∥CF，BK=CF. 再从证∠BDE=∠CDF考虑，已有DB=DC，从而∠DBC=∠DCB，故只要BH=CG即可通过△DBH≌△DCG得证. 再据已有解题经验，已知（已证）平行时，通过平行实现比的转换是证线段相等的一种有效方法. 由AD∥BC得EB∶EA=BH∶AD，由BK∥AC得EB∶EA=BK∶AF=CF∶AF. 所以BH∶AD=CF∶AF. 又由AD∥BC可得CG∶AD=CF∶AF，所以BH∶AD=CG∶AD. 所以BH=CG.