中考数学解答题解答典型失误剖析与复习建议

[摘 要] 本文结合2012年四川南充市的中考数学解答题考生出现的答题失误，对其中典型失误进行剖析，整理归类，并有针对性地提出一些中考复习建议.

[关键词] 中考数学；典型失误；错因分析；复习建议

解答题历来是各地中考数学的重头戏. 考生由于考试心理紧张、某些数学知识的缺陷等多种因素的影响，解答中总会出现各种各样的失误. 那么，考生对这类题的解答有哪些典型失误？失误的原因是什么？中考复习时该怎样应对？笔者结合2012年四川省南充市的中考试题（解答题共8个）进行剖析，供大家中考复习时参考.

剖析 这里的错解1、错解2和错解3都盲目通分，同时错解1混淆了平方差公式与完全平方公式，错解2确定的公分母太复杂；错解4的分母分解因式时出错. 究其原因是大多考生盲目计算，不重视运算技巧，不根据式子特点灵活选择计算方法，或错误地使用运算法则和运算定律，或在进行化简与运算过程中没有进行等价变形.

剖析？摇 此解法采取“分解分母→通分”的解题策略，增大了计算难度，导致结果错误. 分析原因是考生解题思维僵化，不能根据数学式子的结构特征，多角度思考解题思路，灵活选择解题方法，习惯于一种解法，增加解题难度.

试题2？摇 在一个口袋中共有4个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球. 求下列事件的概率：

（1）两次取的小球的标号相同；

（2）两次取的小球的标号的和等于4.

画出的树状图为：

由图可知共有20种等可能结果，其中两次取的小球的标号相同有4种（记为A），标号的和等于4的有3种（记为B）.

剖析？摇 这里的失误是把求等可能性事件概率公式中分数的分母理解成了“两次摸球的结果总数之和”. 造成这种失误是由于考生对概念理解不透彻，对概念理解片面、不全面，只能单向理解，对其逆向理解和变式理解不熟悉.

试题3？摇 如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，且CE=CD. 求证：∠B=∠E.

错解1 ？摇因为AD∥BC，所以AE∥BC. 所以四边形ABCE是平行四边形. 所以∠E=∠B.

剖析 这里用到的是“一组对边平行的四边形是平行四边形”，条件不充分. 究其原因是考生对定理的内容似是而非，没有全面把握定理成立的条件，导致定理的条件不充分却得到定理中的结论.

错解2 ？摇因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AB=CD，AD∥BC. 因为CE=CD，所以AB=CE. 所以四边形ABCE是平行四边形. 所以∠B=∠E.

剖析 这里用到了“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，这是个假命题. 分析原因是考生在解题过程中违反逻辑思维规律，常表现为偷换概念、偷换论题、自相矛盾、分类不当等.

试题4 关于x 的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1，x2.

（1）求m的取值范围；

（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值.

错解1 （1）因为关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1，x2，

剖析 这种解法没有全面把握一元二次方程有“两个实数根”的含义，只考虑到了“两个根不相等，即Δ>0的情况”，遗漏了“两个根相等，即Δ=0”的特殊情况，致使解答结果不完整. 原因是考生解题过程思维不严密，对数学问题思考不全面，以偏概全导致解题失误.

上述两种解法考生均把一元二次方程根与系数的关系弄错，究其原因是考生对公式、法则记忆模糊，不注意公式、法则成立的条件是否具备就直接应用公式、法则解题，或对公式与法则记忆错误、不全面，漏掉其中一部分或混淆不同公式，张冠李戴.

又2（x1+x2）+ x1x2+10=0，所以m=3.

剖析 这里没有直接用“一元二次方程根与系数的关系”进行计算，而是先用求根公式算出每个根（每个根都是无理式），再计算，导致出错. 原因是考生解题方式繁杂，常表现为计算过程该用公式的不用，或该用运算定律、法则时没有用，或该用简便运算时没有用，导致解题过程复杂，结果出错.

试题5 如图2所示，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连结FC.

（1）求证：△AEF∽△DCE.

（2）求tan∠ECF的值.

剖析 上述解法在利用相似三角形的性质列比例式时没有把对应边写在对应位置上，导致式子错误. 错误的原因是考生把相似三角形的性质应用错误，没有深入理解性质的本质.

剖析 这里辅助计算的参数“AE为2x”偏大，增大了计算难度，造成计算结果错误. 究其原因是考生计算技能缺失，计算过程不能灵活地选择公式及数学方法，或不能做到多种算法综合运用，或辅助计算的参数使用不合理等.

试题6？摇 学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车. 已知租用1辆大车和2辆小车共需租车费1 000元，租用2辆大车和1辆小车共需租车费1 100元.

（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元.

（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2 300元，求最省钱的租车方案.

错解1 （2）设大车租a辆，小车租b辆，依题意可得

400a+300b≥2300，45a+30b≥240. （解题无法继续，到此结束）

剖析 这里只依据“明摆着”的条件列出了一个“二元一次不等式组”，且所列不等式组超出了考生解题能力范围. 原因是考生忽视了“隐含着”的条件，没能从“240名师生都有座位”和“每辆车上至少要有一名教师”两个条件的相互关系中挖掘出租车的总数为6辆.

错解2 （2）设大车租a辆，则租小车（6-a）辆，总费用为w元，则w=400a+（6-a）×300=100a+1800.

根据题意有100a+1800≤2300，解得a≤5. 因为k=100>0，w随a的增大而增大. 所以a取1时，w最少. 所以租大车1辆，租小车5辆，费用最少，最少为1900元.

剖析？摇 这里考生用“车辆数和总费用”两个变量列出一次函数，应用一次函数的增减性进行解答，忽略了“车辆数与人数”的关系，致使解答的结果错误. 错因是机械套用. 由于平时学生用某种固定的解题思维模式多次解决同类问题而形成思维定式后，当遇到类似的新问题时（一般条件发生了变化）便机械套用以前的解题思维模式，导致解题失误.

试题7 如图3所示，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边分别与△POQ的两直角边交于点A和点B.

（1）求证：MA=MB.

（2）连结AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

错解 （2）如图4所示，连结MO，过点M作MC⊥PO，MD⊥QO，垂足分别为点C和点D. 易证△MOA≌△MQB. 所以AO=BQ. 所以AO+BO=OB+BQ=OQ=4. 若使△AOB的周长最小，则使A点在C点剖析？摇 这里在说明△AOB的周长最小这个关键点时，用合情推理代替了逻辑推理，没有推理过程，结论缺乏根据，没有说服力，失去了得分点. 原因是推理不严谨. 考生凭借已有的经验和直觉，“想当然”地推断某些结果，缺乏应用已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则，按照逻辑推理的法则进行证明或计算的过程.

（1）求抛物线的函数解析式.

（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D. 动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值.

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.

错解1 （2）如图6所示，连结AC交OB于点E，则AC⊥OB，AC⊥AD.

t秒时，OP=t，DQ=2t. 若PQ⊥AD，则四边形PQAE是矩形.

所以PE=QA. 所以OE-t=AD-2t. （由于无法找到求OE与AD的等量关系，解题终止）

剖析 这两种解法都是不能对已知条件和需要求的问题通过猜想、推理、论证等探究过程，综合运用类比与归纳、分析与综合等数学思想方法找到不同量之间的内在联系，寻求数量之间的制约关系，建立等量关系求解，导致无法解出题目. 究其原因是考生数学思想方法薄弱，考生综合运用数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想的能力较弱，不能综合运用比较法、分析法、综合法、数学归纳法等方法辨明数学关系、建构数学模型、找到解题策略.

失误类型与复习建议

通过对上述典型失误案例的分析，中考数学解答题解答失误可归为五种类型.

主要表现在考生计算时常把数字、运算符号、性质符号抄错或遗漏；运算基本技能不过关，存在运算速度慢、准确性差等问题；运算过程缺乏条理性、合理性、灵活性. 上述案例中试题1的错解1～错解4，试题5的错解2和试题6的错解2就属于这种类型. 造成这类失误是在知识层面上与对法则、运算律、算理等基础知识的理解、掌握和运用有关，在技能层面上与对运算技巧的掌握和熟练程度有关，在逻辑思维层面上与学生的逻辑推理能力有关.

复习建议 在涉及计算复习时要让学生过“三关”，第一，算理关. 要加强数学法则、运算律、算理等基础知识的复习，要让学生正确理解法则，熟记某些重要运算律、算理；要对数学法则、运算律和算理等加强综合练习. 第二，算法关. 要求学生认真审题、细心求解，看清题目中的每一个数据和运算符号，确定运算顺序，选择合理的运算方法；根据式子特征优化运算过程和运算方法，提高运算的合理性. 第三，逻辑关. 加强运算的逻辑推理训练，引导学生灵活运用条件，提高运算的简捷性，如灵活运用概念、公式，灵活选择运算途径等. 另外，要让学生在平时的练习中做到步步有根据、有充足的理由，注意运算的顺序性.

类型2？摇 数学知识应用失误

主要表现在考生解题时错误地应用概念、公式、法则、定理、性质等，导致出现解题结果错误. 上述案例中试题2的错解，试题3的错解1，试题4的错解2与错解3，以及试题5的错解1就属于这种类型. 造成这类失误大都是由于学生对概念、公式、法则、定理、性质等理解片面，“知其然，不知其所以然”，对概念的本质属性理解不透彻，对公式、法则记忆模糊，对定理、性质似是而非地理解.

复习建议？摇 首先，要重视对概念、公式等数学知识的复习. 对于数学概念，要重视概念的实际背景与形成过程，要让学生在主动探究、“做数学”等数学活动中理解、掌握概念的本质属性；要让学生弄清定理、性质中的关键词，理解定理、性质的本质，从正、反两个方面对定理、性质进行理解并加以应用，用多种语言（文字、符号、图形语言）表述定理. 其次，要重视相似或相近概念、公式等数学知识的对比复习. 应通过本质属性的对比与变式训练等多种方式让学生辨析相似、相近数学知识的易“混淆点”，在对比中理解数学知识的本质. 再次，要注重建构数学知识系统框架图. 教会学生建立“数学知识树”，明晰知识脉络，区分不同概念、定理、性质、法则、公式的异同点，使学生更好地理解数学知识的意义，克服机械记忆的学习方式.

类型3？摇 问题解决不全面造成失误

主要表现为考生在解决数学问题时，不能全面地发掘题中的信息，对主要条件或关键信息缺乏深入的理解，没有发现或挖掘出题中所隐含的条件，导致出现解答不严密或不能做到底. 上述案例中试题4的错解1、试题6的错解1就属于这种类型. 这类情况大多是由于学生审题马虎、考试心理紧张和忽视隐含条件造成的.

复习建议？摇 学生审题马虎既有审题习惯的原因，也有心理方面的原因. 防止这类失误的对策是：首先，培养科学严谨的审题习惯. 要求学生解题前做到“一题读三遍”，一遍看条件与问题，二遍分析条件与问题的关系，三遍理清各种量的意义和关系. 其次，保持正常的心理状态. 平时应要求学生养成沉着、冷静、耐心的做题习惯，时常提醒自己“别紧张，看准题，不失误”.

忽视隐含条件大多是因为思考不深入、经验不足、思维定式的负面效应或对概念、定理、公式、法则理解不透彻. 防止发生这种失误的对策：首先，进行分类复习. 对概念、定理、公式和法则等进行分类专题复习，帮助学生分析并掌握“易错点”和“易漏点”. 其次，加强对概念、定理、公式和法则的意义理解. 注意关键词语的深层含义，关注数量关系与数学式子的结构特征、图形的位置特征、实际问题的意义所隐含的条件，积极培养学生思维的深刻性和严谨性，加强解题后的反思，积累相关经验等.

类型4？摇 逻辑推理不严密造成的失误

主要表现在考生不能合乎逻辑地进行分析、综合、抽象、概括和推理论证，答题的过程思路不清晰、因果不分明、推理不严谨等. 上述案例中试题3的错解1，试题7的错解，试题8的错解就属于这种类型. 考生逻辑思维能力差和数学思想方法薄弱是造成这种失误的根本原因.

复习建议？摇 逻辑思维能力差的学生可以通过学习和训练逐步提高. 培养学生的逻辑思维能力要坚持由短到长，由简单到复杂，由易到难. 如，开始先学会写一个逻辑段“因为……，所以……”，然后学习写两个逻辑段“因为……，所以……. 所以……”，逐步增加逻辑段的长度和难度. 在表达逻辑推理过程时，要坚持“没有最好，只有更好”，不断地反思、推敲、修改已给出的解法过程，从而优化解题的逻辑过程. 只要坚持做下去，必定能使思维得到锤炼，进而提高数学逻辑推理能力.

强化数学思想方法的教学是提高学生学习潜能的有效途径. 首先，教师要以一定的数学知识为载体，有意识地梳理和归纳数学问题中的思想和规律，渗透和揭示其中的数学思想方法，结合教学内容，主动引导学生感悟、理解、掌握数学思想方法. 其次，抓住数学的“灵魂”，发挥“数学方法论”的导向作用，通过对典型例题的分析，教会学生如何思考，使学生经历观察、实践、猜想、推理、论证的探究过程，体会数学思想方法在解决数学问题中的重要作用，让学生学会在数学思想方法的指导下探索数学题的解法，使数学思想方法成为学生解题道路上的指明灯，经常指导学生解题，使解题学习有事半功倍之功效.

类型5 解题策略不当造成失误

主要表现在一种策略给解题产生错误导向，使问题得不到解决，或增加了解题过程的难度和复杂性. 具体表现为考生解题思维僵化、解题方式繁杂等. 上述案例中试题1的错解5，试题4的错解4就属于这种类型. 造成这种情况的原因与学生的解题技巧掌握多寡有关，与学生解题思维的敏捷性、灵活性有关.

复习建议？摇 首先，加强解题技能的培养. 教师要通过教材中的例题、练习题和习题以及近年的中考题等让学生“一题多解”“一题多证”，不断优化解题策略，培养学生娴熟的解题技能. 其次，加强解题思维的培养. 解题教学过程中教师要善于启发、指导，启发学生在思维过程中自己体验，让学生动脑、动手、动口，训练学生会思考，让学生亲自领略数学思想方法的功能作用，并在思维训练过程中不断加以总结、提高、完善、充实. 再次，帮助学生建立解题“方法库”. 如，每次解题后，要求学生归纳所用知识，重要知识的用法，解类似题的方法技巧，并查错补遗，寻求最佳方案等. 通过过程挖掘，提炼解题指导思想，归纳总结解题方法，从而上升到思想方法的高度，抓住实质，揭示规律，在学生头脑中逐步建立起解题策略“方法库”.

总之，防止或减少学生在解答题解答中的一些不必要失误，需要教师在复习中有“研数学”的意识，善于把学生的“错题资源”变为有效的“教学资源”，让学生在不断的识错、改错中提升数学思维品质.