初中数学教学管窥思想方法的渗透

[摘 要] 依笔者教学所见，初中数学教学在一定程度上应将思想方法的教学渗透进中考复习教学中，对那些形式化的数学问题更要采用各种思想方法进行多角度教学，使学生对其理解透彻.

[关键词] 数学思想方法；数形结合；分类讨论

从知识层面来说，初中数学有很多基本知识，这是学生必须掌握的初级学习层次. 初中数学学习的最高层次是掌握数学思想方法，将千变万化的试题化有形于无形，通过思想方法看到问题的本质、解决的思路，这是教师进行数学教学的最终目标. 掌握数学思想方法并能在考试中熟练运用，对学生来说，并非易事.

从教学层面来说，江苏新课程改革的不断深入和《初中数学新课程标准》的实施，预示着新课改将继续深化，其要求中学教育要不断培养学生的素质、能力和创新精神，那种过时的依靠题海战术来提高中考分数、忽视学生能力培养的教学方式逐渐被淘汰. 新课改实施以来，教师面对初中数学教学的两大难题：其一，课时量并无增加的前提下，教学内容却相应增加了（诸如引入高中教材中很多浅显的知识：概率、函数思想、三次因式、韦达定理等超出教材范畴的知识），导致数学教学总是课时紧，学生基本功不够扎实. 教学多年往往有这样的感受：学生一届比一届基本功下降得多，这是什么原因造成的呢？其二，中考数学的大方向并没有实质性的改变，教师必须顾及学生的中考成绩，这要求教师必须对初中数学加强思想方法的教学，以提高数学课堂教学的效率和重要性，否则容易陷入题海教学的苦恼. 本文正是在这样的启示下结合教学实践浅谈思想方法教学的实施.

数形结合思想的运用

对学生来说，数形结合思想更多的是用来以形辅数，即用几何的方法解决代数问题，体现图形的直观性、思维的辨识性、解答的简便性. 对于进行函数、三角、几何等初中数学各个板块教学来说，数形结合思想在很多问PlpYLheUaJKR9A5cUstiLn5PxkddYAdbw9KCVvnavhY=题上有着无法替代的优越性.

案例1 “两个圆的位置关系”教学

传统的教学是告诉学生两圆的位置关系，然后判别、运用、解题，这样的数学教学课堂不可行. 可利用数形结合思想，将教学通过探究性模式进行反思建构：利用CAI课件辅助教学，让学生自己思考、发现、总结结论. 教师则通过计算机动态地演示两个圆的运动过程，先在屏幕两端各显示一个圆，然后拖动任意一圆，构造两圆位置关系的几种情况，请学生观察、思考.

师：在这两个圆的运动过程中，有哪些情况出现？

生：刚开始，两圆没有相连；继续运动，两圆相交于一点；再继续运动，两圆相交于两点. 教师再重新演示一遍运动过程，同时给出结论（幻灯演示）.

师：观察不同情形，两圆圆心距离和它们的半径有没有什么量化的关系？

教师的重点是通过“形”的运用（利用CAI工具），组织学生亲自建构，得出三种位置关系，找出规律. 教师再根据学生的建构进行总结：

①两圆相离时，圆心距大于两圆半径和，即d>R+r；

②两圆相切时，圆心距等于两圆半径和，即d=R+r；

③两圆相交时，圆心距小于两圆半径和，即d

说明：借助图形语言（CAI教学辅助）描述两圆的位置关系，并以动态的形式给予展示，简约而不简单. 一旦利用以形辅数的方法，两圆的位置关系竟变得如此简单明了. 化数为形的分析方法，在得到两圆位置关系正确的结论中，起到了事半功倍的作用. 因此，教学中教师应重视“以形辅数”思想的渗透和运用. 随着计算机辅助教学在学校教育方面的广泛使用，笔者觉得CAI正体现出越来越强大的交互功能，而这种交互性恰恰对数学课（尤其是公开课）努力培养学生主动探索、积极建构很有帮助. 所以教师应多花时间思考课的构成，努力给学生提供这样的空间.

分类讨论思想的磨炼

分类讨论思想一直是中考数学的重要思想方法，在解决很多中考压轴问题时有着不可替代的作用. 对于分类讨论思想方法的教学，笔者认为学生基本能理解其在中考数学压轴题中的运用，难点在于教师要教会学生做到分类讨论的不重不漏，这成为区分学生思想完整性、灵活性、严谨性等考查的必备数学思想，因此值得教师研究和深化.

案例2 （2011年常州中考模拟）如图1所示，已知A，B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1. 以点A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x.

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究△ABC的最大面积.

分析 当点B在AN上运动时，通过观察可得∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角.

（1）根据三角形的基本性质：两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边，找寻关于x的不等式，从而得出x的取值范围.

（2）对Rt△ABC进行分析，根据勾股定理分类讨论其存在性.

（3）把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题. AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况.

解析 （1）在△ABC中，AC=1，AB=x，则BC=BN=3-x. 所以1+x>3-x且1+3-x>x，解得1

（2）①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，此方程无实根；

上述案例告诉我们，教学和中考试题的分析都是将数学思想方法运用到具体问题中的一种教学形态，学生学习数学思想方法有一个循序渐进的过程，通过不断的整合、聚合，才能将其牢固地黏合于学生的知识体系中. 通过上述案例，笔者也认识到数学思想方法在教学中的重要性.

（1）掌握数学思想方法是学习数学知识的本质，数学思想方法渗透数学的各个分支，是我们解决数学问题的重要导向，是探究性学习的重要工具之一，把掌握数学方法和思想作为数学教育的重点，可以使初中学生逐步掌握数学基本方法和数学思维，进而展开高效率的数学学习. 数学方法和思想是初中学生提高数学素养、培养创新能力的关键，是一切数学创新的源泉，数学思想方法的教育使数学教学真正变为“授之以渔而非授之以鱼”，让初中学生由“学会”变成“会学”，为其今后的终身学习奠定基础.

（2）数学思想方法教学使学生更容易理解数学内容，使其在掌握了一些数学思想方法后再去看待相关的数学知识显得“高屋建瓴”，进而挖掘初中更深层次的问题，这样的学习更具稳定性，有利于旧知识巩固和新知识的学习，能够顺利地将新知纳入到自身知识体系中，数学思想方法正是体现了这么一种核心.

近年来，对初中数学思想方法的考查越来越受到各地中考试卷的重视，教师在教学中也要对思想方面从初一教学开始就进行全面渗透，提升学生通过问题看本质的能力，使其在掌握扎实双基的同时，将知识点进行有机整合，最终上升到思想方法的高度，然后进行提炼，久而久之的磨炼可以提升优秀学生的数学能力和数学素养，用诺贝尔奖获得者李政道教授的话说：“我觉得今天取得自己的一点成就离不开数学的功底，而数学的功底又在于我当年中学时代对数学思想方法的理解和运用，其伴随我研究一生. ”