三个“关注”引领高效

[摘 要] 数学复习要关注核心概念，注重基础知识和技能的积累，关注典型试题，注重解题能力的提升，关注错误根源，注重学生的思考过程，为学生创设轻松、和谐、民主、开放的课堂氛围，提高学生的数学思维品质.

[关键词] 关注；引领；高效；思维品质

初三数学一轮复习之后，为了使学生了解自己的不足，发现复习过程中遗漏的知识，同时适应中考试卷题型，通常会进行一些模拟试卷的练习. 而这个过程也正是教师帮助学生进一步完善知识结构、提高解题能力的契机. 不仅如此，通过对典型试题采取恰当的变式练习等方法，还可以优化学生的思维，从而培养学生的数学素养. 下面笔者结合自己的教学案例谈几点思考.

关注核心概念，注重基础知识和

技能的积累

其实模拟试卷主要考查的是初中数学阶段“数与代数”“图形与几何”等各个领域的基础知识和基本技能，即我们通常所称的“基本题”. 但基本题并不等于简单题，而是利用基本知识、基本方法、基本技能、基本经验解决的基本问题. 对于学生失误较高的基础题，需有侧重点地进行集体讲评，因为这反映出了学生对核心概念及概念间的相互联系掌握得还不够牢固和透彻.

1. 抓住概念的关键特征，强化概念的运用

案例1 关于x的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2-1=0的一个根为0，则m=_____.

师：同学们，这道题考查了什么知识呢？

生1：一元二次方程以及一元二次方程的根的定义.

师：谁能说说什么叫做一元二次方程？什么是一元二次方程的根？

生2：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程.

生3：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.

师：大家说得很好. 对于一元二次方程，我们只要理解三个关键特征即可，即一元、二次、整式方程. 那这道题中，哪个特征最容易被我们忽视呢？

生4：m-1≠0.

师：回答得非常好. 那么再变一变，稍微难一些，你们会吗？

练习题？摇 1. 关于x的方程（m+1）xm2+1+（m-2）x-1=0.

（1）是否存在m，使方程为一元二次方程？若存在，请求出m的值.

（2）若方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，请求出m的值.

2. 关于x的方程x 2+bx+a=0有一根 -a（a≠0），则a-b=______.

感悟 一元二次方程的概念是方程这一章的一个核心概念，学生应当掌握. 掌握不是死记硬背，而是要能在理解的基础上将对象运用到新的环境中. 本题将一元二次方程根的意义和一元二次方程的定义有机结合，在解题过程中交错运用. 在讲解时，我们需要给学生概括出概念的关键特征，之后利用问题串强化运用. 练习的第一题考查了相近的一元一次方程的定义，能促进学生对概念的理解. 虽然学生能够用语言陈述概念、性质、定理、公式，但并不能说明他们已经理解了相应的概念、性质、定理、公式. 关键要看他们在思维层面上能否运用概念、性质等进行推理或重组. 只有真正掌握，才能进行学习上的迁移，以不变应万变，融会贯通.

2. 引导学生自主建构，形成概念网络

案例2？摇 将抛物线y=x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的函数关系式为______.

感悟 案例考查的是二次函数的有关知识. 二次函数是初中阶段数学知识的重点、难点，可借助图示法表示相关概念之间的关系.

通过图示，能加强学生对知识发生过程的理解，从而形成良好的认知结构和知识网络，形成条理化、有序化的有机体系，有利于学生将已学的知识弄懂、弄通.这样，在解题时，也方便学生由题目提供的信息、从记忆系统里检索出与题目相关的信息，构成最佳组合.

关注典型试题，注重解题能力的

提升

1. 展示学生解法，优化学生思维

在试卷讲评中展示学生的不同解法，既有利于优化学生的思维，又能鼓励学生，增强学生学习数学的信心，激发数学学习的兴趣，一举多得.

案例3？摇 如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC，BD相交于点E，连结BC.求∠AEB的大小.

生1： 因为点O是线段AD的中点，所以OD=OA.因为△OAB和△OCD是等边三角形，所以OB=OC=OA=AB，∠DOC=∠AOB=60°.所以∠COB=60°. 所以△COB是等边三角形.所以AB=BC=CO=OA.所以四边形ABCO是菱形.？摇同理，四边形BODC也是菱形. 所以AC⊥BO，∠OBD=30°.所以∠BEA=60°.

生2：？摇易得△DOB≌△COA，所以∠DBO=∠CAO. 所以∠BEA=∠BOA=60°.

感悟 上述三种解法各有千秋，分别利用四边形的知识、三角形全等的知识、圆的知识求得∠BEA的度数，但最后一种解法更简洁.正应了那句话，“对题目理解得越深刻，则解法越简洁.”不过由于学生能力、课堂时间等因素的限制，必须根据《数学课程标准》的要求做出合理的选择，不能把一二十种方法都搬到课堂上来，那样反而会适得其反，造成学生的混乱.

2. 加强变式训练，培养思维深度

案例4？摇 抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D. E（1，2）为线段BC的中点，EF垂直平分BC交y轴于点G.

（1）求抛物线的函数解析式.

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小.

师：求△CDH的周长，也就是求哪几条线段的和？

生1： CD+DH+HC.

师：那这里面有哪些线段是已知的，实质上可以抽象出一个怎样的基本图形？谁能到黑板上来画一画.

生2：CD是一个定值，所以我们只要求DH+HC的最小值.

（众生沉思，生3踊跃到黑板上板演，画出基本图形）

师：这个基本图形实质上就是我们熟悉的“将军饮马”问题中的基本图形，那我们怎么做呢？

生4：作点D或点C关于直线EF的对称点.

师：那作哪个对称点更方便呢？

生4（想了想）：不用找对称点了，题目中有现成的.因为EF垂直平分BC，所以可以看作B，C两点关于直线EF对称，再连结BD，则BD与EF的交点就是所要找的点.

师：同学们，像这种求线段之和最小值的问题初看有一定的难度，但我们可以将它变成我们熟悉的“将军饮马”问题，难题就迎刃而解了. 这其中蕴涵了我们解决数学问题时的一个重要思想方法——转化，即将未知的转化成已知的，将陌生的转化成熟悉的.

变式1？摇 （案例4的条件）在y轴上求一点P，使PC-PD最大.

变式2？摇 如图3，正方形AOCB的边长为6，A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点D的坐标为（2，0），点P 是OB上任一点，求PD+PA的最小值.

（生顺利解决）师：大家仔细想想，讨论看看我们以前都运用“将军饮马”问题中的基本图形解决过哪些图形中的最值问题？

（教室里顿时热闹起来，小组内各抒己见，三分钟，汇报讨论结果）

生5：（在实物投影仪上投影自己的作品）如图4，在以AB为直径的圆中，O为圆心，∠DOB=60°，点C为弧BD的中点，在AB上找一点P，使PC+PD最小.

生6：（投影作品）如图5，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，N为AB 上任意一点，在AD上求点M，使BM+NM最小.

生7（投影作品）：如图6，点P为∠AOB内部一点，分别在AO，BO上找点C和点D，使△PCD的周长最小.

（学生继续汇报着本组的讨论成果）……

拓展提高？摇 1. 如图7，在菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD上任意一点，在BD上找一点P，使MP+NP的值最小，求最小值.

2. 如图8，矩形OABC的顶点O在直角坐标系的原点，顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，D为OC的中点，若E，F为边OA 上的两个动点，EF=2，求四边形BDEF周长最小时，E，F的坐标.

感悟？摇（1）案例由学生在具体情境中抽象出几何基本图形，通过简单变式形成题组，易于学生抓住问题的本质. 拓展练习在原题型的基础上又发生了变化，变成了三个动点，求最小值的问题，考查了学生能否灵活运用的能力，培养了思维的深刻性. 在积累解题经验的同时，又提高了学生解题的技能，促使学生在解决问题的过程中感受数学、体验数学、享受数学带来的乐趣.

（2）数学知识是数学思想的载体，在教会学生数学知识、了解解题方法之后，点出了其中所蕴涵的数学思想，有利于学生对定理、方法、技巧等本质的认识，对于学生分析问题、解决问题有积极的导向作用.

（3）通过学生讨论反思，挖掘出了解决“将军饮马”问题过程中的基本图形，并总结了这个基本图形在平时解题中的简单应用.这是一个从被动学习到主动提出问题的过程，是从基础到创新的飞跃，有助于学生直觉性题感的形成，就像英语学习中的“语感”，以及音乐学习中的“乐感”.

关注错误根源，注重学生思考

过程

学生错误的解法，有时正是教学的资源，教师应当敏锐把握. 教师应在学生的错解中，找出有代表性的错误解法，并加以利用，找出错误发生的根源.

错解2？摇 因为 AB⊥CP，AB过圆心，所以AB平分CP.所以AB是CP的垂直平分线. 所以BC=PB. 同理，PC=BC.所以BC=PB=PC.所以△BCP是等边三角形.所以∠BCD=30°.

师：请同学们仔细读题，对照图形，认真阅读解答过程，看看这两种解法问题出在哪里？（教室里一片沉静，思考两三分钟后，终于有六名同学举起了手）

生1：第一个解答过程，△AOC是等边三角形，但是题目中说“过点C作直线PB的垂线CD”，CD不一定过点O.

（大家若有所悟，有同学不断点头，顿时举手的同学多了）

生2：第二个解答中“BC=PB” 是正确的，但是“同理，PC=BC”就不对了，CD不一定过圆心.

师：所以，我们在解题的时候一定要认真审题，注意思维过程的严密性. 那大家觉得CD过点O吗？（众生沉思片刻）

生3：CD过点O，因为∠ACP=30°，所以∠PCB=60°. 又BC=PB，所以△BCP是等边三角形. 所以PC=BC. 所以弧PC=弧BC. 又因为CD⊥PB，所以CD过圆心.

（教室里掌声响起）

感悟 《新课标》中指出数学课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果形成的过程”，不管是基础题还是综合题，学生答对了，我们要懂得欣赏，答错了，要帮助分析错误的根源.错误的原因很多，有的因为知识因素，比如关联的知识含糊不清，有的因为不注意审题，未弄懂题意，有的能力较弱，表现在解综合题时不能灵活运用而出错、解题不完整等.只有注重暴露学生的思维过程，关注错误的根源，抓住每一个细节，才能有的放矢，改善不足之处.