一道课本例题所联想的多角度探究思路及变式训练

[摘 要] 本文围绕新课程理念，从分析课本例题入手，以问题为载体，开展多角度探究，剖析解题思路，渗透数学思想方法，并进行变式训练，培养学生的解题能力和求异思维，从而促进学生“全面、持续、和谐的发展”.

[关键词] 探究；新课程；多角度；变式

张奠宙先生说过：“没有问题的数学教学，不会有火热的思考. ”数学源于问题，问题是思维的起点. 在课堂教学中，应以学生合作讨论、交流为前提，以教材为基础，以问题为载体，在教师的启发、指引下，学生通过观察、猜测、推理、验证、交流等有效的数学活动，积极发挥自主能动性，经历数学知识的形成与应用过程，掌握方法，培养能力，达到举一反三、触类旁通的目的.

题目引入

在本学期期末复习时，笔者准备以课本例、习题展开，其中以圆中的计算为考点引用九年级上册课本例题（2010-2011学年东莞市期末考试试题）：

如图1，BC为⊙O的直径，AB=6 cm，AC=8 cm，∠CAB的平分线AD交⊙O于点D，连结CD，BD，求BC，BD的长.

分析 本题考查的知识点有：⊙O中直径所对的圆周角是90°；勾股定理的计算；角平分线的定义；等圆周角对等弧、等弦. 一般来说，学生通过以往的学习和习题的变式练习，基本可解决此题. 学生做完此题后，觉得解题思路比较直接，计算量也不大.

此时老师提出：我们还有哪条边不知道呢？

生答：AD边！

师问：如何求AD的长？请大家想一想，看谁能更快、更简捷地解决！

解法展示

在大家的集思广益下，呈现了此题解法的多样性和蕴涵的数学思想.

思路入题分析 观察到图中有45°角，可通过作高构造两个直角三角形，其中有等腰直角三角形，可利用勾股定理或解直角三角形来解答，此解法蕴涵了转化思想.

思路入题分析 通过作高构造等腰三角形的同时，利用相似三角形得出对应边成比例，从而解答，此解法也蕴涵了转化思想.

思路入题分析 由于有角平分线这一条件，可通过作辅助线构造全等三角形，再利用等腰三角形底边的三线合一性质，最后用解直角三角形解答. 解法3蕴涵了分割思想，解法4蕴涵了补全思想.

解法5？摇 如图7，（在图6的基础上）过点D作DG⊥AC于点G，由AD平分∠BAC得DG=DF.

思路入题分析 由于有角平分线这一条件和45°角，两者结合可构造出正方形，再利用全等三角形解答，解法5蕴涵了特殊化思想.

解法6？摇 如图8，利用图形旋转把△ACD绕点D顺时针旋转90°后得到△EBD，则△ACD≌△EBD. 所以∠ACD=∠EBD. 由于∠ACD+∠ABD=180°，故∠EBD+∠ABD=180°. 所以A，B，E三思路入题分析 利用图形变换得到全等三角形，进而推出对应边相等、对应角相等，再转化为解直角三角形问题，解法6蕴涵了变换思想.

题目变式

皮亚杰的认知发展理论认为，学习是一种能动的建构的过程. 新课标强调培养学生的自主探究能力，让他们能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识和应变技巧. 变式教学以现代理论为指导，以注重知识建构、提高变式能力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求. 因此，教师应遵行主体参与、探索创新等教学原则，深入研究教材中蕴涵的变式创新因素，通过学生积极自觉的认知结构来激活、改变学生的原有认知结构，从而培养学生的求异思维、创新意识和创造能力.

1. 基础变式

变式1？摇 延伸结论

（1）如图9，图中有多少对相似三角形？试写出其中的一对并给予证明.

（2）试求四边形ABDC的面积.

变式2？摇 变条件1

如图10，把“∠CAB的平分线AD”改变为“△ABC的高AE所在的直线与圆的另一交点为D”，试探究四边形ABDC是什么图形，并说明理由.

变式3？摇 变条件2

如图11，把“∠CAB的平分线AD”改变为“△ABC的中线AO所在的直线交⊙O于点D”，试探究四边形ABDC是什么图形，并说明理由.

变式4？摇 变条件3

如图12，把“BC是⊙O的直径”改变为“BC是⊙O的弦”.

求证：（1）△ACE∽△ADB.

（2）AB·AC=AD·AE.

（3）图中共有多少对相似三角形？请一一写出，并证明其中一对.

评析？摇 变式1在原题的基础上探究新问题、新结论，第（1）问是开放题，答案不唯一，第（2）问是转化思想的体现，把四边形ABDC的面积看成△ABC和△DBC的面积和；变式2和变式3把条件“∠CAB的平分线AD”分别变更为“高、中线”后，探究的新图形分别为筝形、矩形. 变式4把条件“BC是⊙O的直径”改变为“BC是⊙O的弦”后，将探索和证明结合于一体，通过设计问题串，引导学生步步深入、层层递进，使题目具有较好的层次性，使不同思维层次的学生都能得到充分的展示.

2. 拓展变式

变式5？摇 增加条件

在图12的条件上增加“过点D作⊙O的切线FG，分别与AC，AB的延长线交于点F和点G”（如图13） . 求证：（1）CB∥FG. （2）CD 2=CE·DG.

变式6？摇 增加条件

变式7？摇 增加条件

在图12的条件上增加“点F是△ABC的内心” （如图15）.

求证：（1）DF=DC=DB. （2）DF 2=AD·DE.（3）若DF=4，AD=8，求DE的长.

变式8？摇 变条件4

如图16，把“BC是⊙O的直径”改变为“BC是⊙O的切线”（如图16），增加“AD是⊙O的直径”， ∠DAB的平分线为AC.

（1）求证： ∠ABC=90°（可把此题的条件和结论互逆进行练习）.

（2） 若CE=6，ED ∶ EA=1 ∶ 3，求⊙O的半径.

评析？摇 变式5和变式6在原题的基础上增加条件探究变化图形下的新结论，将证明与探索结论进行到底，变式5和变式6的切线位置不同，都是利用弦切角的性质得出相似三角形，重点考查学生的合情推理能力，在课堂教学上可适当增加这方面内容，对圆中的相似证明有快捷效果. 变式7增加了“点F是△ABC的内心”条件，解决第（1）问可利用内心性质和等弧对等圆周角，第（2）（3）问仍然是相似证明、计算. 变式8是常见的条件和结论的互逆训练，有助于锻炼学生的逻辑思维、优化思维品质、培养创新精神.

3. 综合变式

变式9？摇 综合变式1

把图13和图15结合在一起成为图17，如图17，∠CAB的平分线AD交⊙O于点D，点F是△ABC的内心，切线DH切⊙O于点D.

求证：（1）CB∥DH.

（2）DF=CD=BD.

（3）若DF=4，AD=8，求DE的长.

变式10？摇 设置背景

如图18，在原题“BC为⊙O的直径，AB=6 cm，AC=8 cm，∠CAB的平分线AD交⊙O于点D，连结CD，BD”的基础上增加“平面直角坐标系”这一条件，求直线AD的函数关系式.

变式11？摇 综合变式2

如图19，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.

（1）求证：∠DAC=∠DBA.

（2）求证：点P是线段AF的中点.

评析？摇 变式9在拓展的基础上探究组合图形下的新结论，将证明与计算相结合，利用相似模型演绎，重点考查学生的综合推理能力，启发学生思维的独创性、广阔性和深刻性. 变式10在原题基础上设置坐标背景，将函数和圆有机地组合在一起，题目起点不高，但能切实反映知识间的串联关系，让学生提升综合解题能力. 变式11设置的问题由易到难，题目综合性较强，透过现象看本质，有利于培养学生的思维迁移能力，增强化生为熟、化繁为简的转化意识.

总结？摇 本节课的活动模式是：回顾教材上的原问题——对原问题进行延伸——生成新问题——探究新问题. 在学生提出问题和分析、探究、解决问题的过程中，教师能与学生一起积极讨论、交流，发现并注意收集学生在探究过程中出现的对问题认识的疑点、对问题分析中出现的困惑以及解决问题思路的亮点，并对每种解法给予点评、小结，让学生通过解题练习揭示解题的思路和总结解题的规律，以拓展学生思维的深度和广度，培养学生严谨的逻辑思维和发散思维.

反思与收获

1. 从选题上要体现探究性和思考性、针对性，要体现常规的解题思路和分析方法，能引导学生积极参与解题和热烈讨论，使得学生在质疑、推理、探究过程中提高分析问题、解决问题的能力.

2. 题目应有思维的创新性和延续性，对学生今后的学习和解题有实质性的帮助，而题目本身应能反映学生思维的不足和缺乏，能有效锻炼学生的思维，并涵盖一定的知识考点，来源于教材又超越教材，形式活泼、内容新颖，能改变学生单一化的解题思路.

3. 教学过程中要敢于放手，让学生成为课堂的主人，提倡“广开言路”，培养学生多说、多动手、多动脑、多交流的习惯，让课堂成为师生互动、生生互动的大舞台，让学生揭示思考方法、思维过程，使学生能更好地理解问题的实质，使探究活动更有时效性.

4. 教师要在每个教学环节中细心观察，引导学生进入思考的探究活动中，避免无用功和低效的现象发生，在学生进入困惑时要舍得花时间讲解、讲透，不要为了赶时间而失去宝贵的训练机会.

5. 老师要引导学生及时归纳、总结解题思路和解题规律，通过不断训练提高思维能力，从而达到举一反三、触类旁通的目的.

结束语

就题讲题，教学枯燥；创新处理，师生活跃. 法国数学家笛卡儿说过“我所解决的每一个问题都成为一个模式，以用于解决其他相关的问题. ”课本上例题、习题的权威性和示范性无疑是创新变式的源泉，有必要进行反思和深层次探究，一方面，进行适当的变换、延伸、拓展，在加深巩固基础知识的同时，开拓解题思路，培养学生的解题能力；另一方面，将题目之间的共性及本质的东西进行提炼、概括、升华，增强学生的学习兴趣，开阔视野、丰富思维，培养学生积极探究的精神和创新的能力.