新课标下高中数学的概念课教学初探

摘 要：数学中的思维活动就是概念、判断和推理，而判断和推理的基础就是概念；概念是思维的细胞，只有对概念理解透彻，才能掌握运算的技能和技巧，才会有合理快捷的逻辑论证。就如何搞好新课程下的数学概念课教学，下面提出，要揭示数学概念的演绎性，即通过公理或已知概念对新概念的约定；要揭示数学概念的发展性，要明白概念随着推理发展，在不同问题的推理中对概念作出不同的表述，才能在应用中把握概念的本质，丰富概念的内涵，理解概念的用法；要揭示数学概念的严密性，要严格地讲清这个概念的所有本质属性，通过实际例子，尤其是典型性例子，强化学生对新概念严密性的认识；要善于灵活运用概念去解决问题，以提高思维能力，在教学中应通过实例加强该方面能力的培养和训练。

关键词：思维活动；概念；判断；推理；演绎性；发展性；严密性；思维能力

《普通高中数学课程标准》指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。数学中的思维活动就是概念、判断和推理，而判断和推理的基础就是概念。概念是思维的细胞，只有对概念理解透彻，才能掌握运算的技能和技巧，才会有合理快捷的逻辑论证。在教学中，常发现部分学生数学概念模糊不清：（1）认为学数学只要会解题就行，不必花时间、精力去注意那些枯燥的概念；（2）认为只要能熟练背诵概念就行，并没有深刻地去理解。结果运用起来似是而非，解答问题则错误百出。因此，上好数学概念课是使学生学好数学的首要一环。如何搞好新课程下的数学概念课教学？笔者结合教学实践，谈几点看法。

一、揭示数学概念的演绎性

数学概念的演绎性主要指：概念的意义不是通过客体抽象、归纳，而是通过概念对概念的演绎来确定的，即通过公理或已知概念对新概念的约定。概念所指的对象还是概念。例如，立体几何中的第一个基本概念——平面。它是通过一组公理来揭示其意义的，并未给出定义。对于平面的概念，教材中简明写道：“常见的桌面、黑板面、平静的水面以及纸板等，都给我们以平面的形象。几何里所说的平面就是从这样一些物体抽象出来的。但是，几何里的平面是无限延展的。”

事实上这一段话并不揭示几何中平面概念的任何意义，几何中的平面与上述种种“形象”毫不相干，我们由此并不能得出几何中关于“平面”概念的任何意义。通过生活中形形色色“很平的形象”也抽象不出能够用之于几何中严密逻辑推理的平面概念。那么，平面概念的真谛何在呢？它的准确意义存在于三个公理和三个推论之中，或者说，平面是具有性质公理和推理的一种“对象”，“平面”这两个字只是具有这种性质的“对象”的一个代名词。因此，教师在教学中应该让学生从三个公理中去领会平面的意义，即平面的确定（有且仅有一个）这一平面概念的核心。

例1.在四面体ABCD中，若有两条高相交，则另外两条高也必相交。

分析：意识到“两条高相交”意味着过这两条高有平面，这是解决该题的关键。

证明：设ABCD的两条高AP、BQ交于H，则过AP、BQ必有平面，记作ABH，它与棱CD交于E。则CD⊥平面ABH（即ABE）。所以CD⊥AB。

在△ABC内作CF⊥AB于F，连结FD，则AB⊥平面FCD。

因为AB？奂平面ABC，AB？奂平面ABD，

所以ABC⊥FCD，平面ABD⊥平面FCD。

则过C和D的四面体ABCD的两条高线必在平面FCD内，从而它们相交。

证明过程表明：在题设中的“两条高相交”暗示我们过这两条高“有平面”（即平面ABE），而要求证另外两条高也相交，暗示我们去证明另外两条高共面，从而启发我们得到平面FCD。

这里用“平面”的概念去演绎“两条相交直线”。

二、揭示数学概念的发展性

任何事物都是发展的，数学概念亦如此。概念随着推理发展，在不同问题的推理中对概念作出不同的表述，这是概念发展的基本渠道。承认并接受这一点十分重要。只有这样才能摆脱概念的僵化状态，才能在应用中把握概念的本质，丰富概念的内涵，理解概念的用法。

如定义：“以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角”。在基本问题中，二面角的概念就是以定义的叙述方式来理解的，这在解题中常用。但在许多解题中用以下方法更为简便：

例2.若一个平面垂直于二面角的棱，那么，这个平面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角。

分析：设平面γ与二面角α-l-β棱交成∠ABC，

因为β⊥γ，所以l⊥AB，l⊥BC，

从而，∠ABC为α-l-β的二面角。

又如定义：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

例如命题：（1）如果一个数列的通项an=an+b（a，b为常数，n∈N），那么这个数列叫等差数列。

（2）如果一个数列的前n项和Sn=an2+bn（a，b为常数，n∈N），那么这个数列叫等差数列。

可以证明以上两个命题与等差数列的定义是等价的，所以，用它们来进行判断也是等效的。

因此，在教学中，教师要揭示概念的发展性，从中发掘一些定义的概念的等价命题，这样无疑能帮助学生迅速、准确地进行判断和解题。

三、揭示数学概念的严密性

概念的严密性是概念的演绎性的必然结果，也是概念用于逻辑推理的要求。学生每接触一个新概念，往往会疏忽了某一些本质，忽略了概念的严密性，从而导致不能很好地掌握这个新概念，教师在教学中，除严格地讲清这个概念的所有本质属性外，宜通过实际例子，尤其是典型性例子，强化学生对新概念严密性的认识。

如，在讲授奇、偶函数的概念时，用f （-x）与f （x）的关系判断函数的奇偶性，学生容易记住，但往往忽略了这个概念的前提条件：奇、偶函数的定义域必定是关于原点对称的区域。透彻地说，就是没有真正弄清概念中的任一实数x与-x均必须保证在其定义域中，这一严密的定义。所以，教师可适时地举一些例子，如函数y=sinx，x∈（0，π）；y=-3x2，x∈（-5，5）等。

再如，讲授“两个平面互相垂直，过其中一个平面内作一直线垂直于这两个平面的交线，则此直线必垂直于另一个平面”定理时，构造了一个命题：两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作一直线垂直于这两个平面的交线，则此直线必垂直于另一个平面，让学生判断其真假，不少粗心的学生立即回答是真命题，细心的学生就会推敲概念中“平面内作一直线”，变为“平面内一点作一直线”的区别，得出假命题的结论。如α⊥β，A∈β，α∩β=l，AC？奂β，AC⊥l于C点，过A点可作无数条直线垂直于交线l，但这些直线并非都垂直于α，而过A的直线中有且仅有直线AC垂直于平面。

因此，教师可通过紧扣概念严密性的例子来加深学生对概念的理解和掌握。

四、善于灵活运用概念去解决问题

任何一门学科都是由一系列的概念体系组成的，所以，概念既是最基础的知识，又是最重要的知识。灵活运用概念去解决问题，提高思维能力，则是我们进行数学概念教学的目的。为此，在教学中应通过实例加强该方面能力的培养和训练。

解题过程中应用了椭圆概念的定义，简化了解题过程，取得了事半功倍的效果。

数学概念的演绎性和严密性揭示了数学概念特点及在概念的发展中必须严守概念的本质，而概念的发展又告诉我们：数学概念绝不能死背定义，必须结合解题进一步领会概念的各种表述形式，掌握反映概念本质的种种侧面，真正使学生悟出隐藏在形式后面的概念的无限真谛。以上提到的几个方面，应当在新授课、复习课、习题课等不同课型中根据需要而得到重视。

道可道，非常道；名可名，非常名。如果我们教师在施教的过程中，能抓住学生掌握知识的薄弱环节，采取相应对策，就能对提高课堂教学质量起到重要的作用。

参考文献：

[1]陈旭远.新课程推进中的问题与反思.首都师范大学出版社，2009-06.

[2]章建跃，陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程.数学通报，2010（01）.

[3]岑燕斌.在自主学习中重视概念教学.中学数学教学，2005（06）.

[4]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论.北京师范大学出版社，2008-04.

（作者单位 福建省德化第一中学）