小内射环的扩张

沈 亮 陈建龙

(东南大学数学系,南京 210096)

设R为环,MR表示M为右R-模,EndMR表示MR的自同态环.f=c·(c∈R)表示f为通过R中元素c进行左乘的一个映射.J=J(R)表示环R的Jacobson根.

环R称为右自内射环如果其作为右R-模为自内射模.这等价于每个从R的右理想到RR的同态,存在c∈R使得f=c·.类似可定义左自内射环.通过将环的理想限制在小理想上,Yousif和Zhou在文献[1]中引入小内射环的定义.环R的右理想I是小理想当且仅当I包含在J(R)中[2].环R称为右小内射环如果每个从R的小右理想I到RR的同态f可扩张为RR的一个自同态.类似可定义左小内射环.

文献[1]中给出了环的小内射性与自内射性及相关自内射性的推广之间的联系.其中的一些主要结论在文献 [3-4]中得到改进.本文将讨论一些扩张环如环的平凡扩张、形式三角矩阵环、上三角矩阵环以及群环的小内射性.

1 一些定义

首先给出一些环的扩张的定义.

定义3设R为环,n≥1.Tn(R)表示R上的n阶上三角矩阵环.可证明Tn(R)的Jacobson根即该环中对角线元素取自J(R)的所有矩阵的集合.

式中,cμ=∑aσbτ满足στ=μ.

2 主要结论

设R为环,RVR为一个双R-模.则R=EndVR如果对∀f∈EndVR,存在元素c∈R使得f=c·.首先讨论环的平凡扩张的小内射性.

引理1[5]设S=R∝V,其中R为环,RVR为一个双R-模.则S为右自内射环当且仅当V作为右R-模为自内射模且R=EndVR.

有如下定理:

定理1设S=R∝V,其中R为环,RVR为一个双R-模.下列性质等价:

1)S为右自内射环.

2)S为右小内射环.

3)V作为右R-模为自内射模且R=EndVR.

故f(a)=ba,∀a∈K.所以f=b·.因此V作为右R-模为自内射模且R=EndVR.

由于环R作为R-模为双模,且R=EndRR,则有如下推论:

推论1设R为环,S=R∝R.下列性质等价:

1)R为右自内射环.

2)S为右自内射环.

3)S为右小内射环.

注1在上述推论中,如果R为右小内射环,S未必为右小内射环.例如,令S=Z∝Z,其中Z为整数环.由于Z的Jacobson根为零,则Z为右小内射环,但S不是右小内射环.否则由上述推论得Z为右自内射环,但Z不是右自内射环.

接下来讨论形式三角矩阵环的小内射性.

1)S为右小内射环.

2) HomS(K,S)=0.

3) 如果f∈HomS(K,V),则存在r∈R使得∀k∈K,f(k)=rk.特别地,VS为自内射模.

注2根据定理2中的结论2),如果VS非零且S是右S-模的上生成子，则U不是右小内射环.

下述命题说明非平凡的上三角矩阵环不是右小内射环.

命题1设R为环,n≥2.则S=Tn(R)不是右小内射环.

证明用eij表示S中的满足第(i,j)位元素为1，其余位置元素为0的矩阵,1≤i≤j≤n.令 0≠x∈R,则K=e1nxR为S的一个小右理想.下面定义从K到S的映射γ使得γ(e1nxt)=ennxt,∀t∈R.则γ为从小右理想K到SS的一个右S-模同态.如果S为右小内射环,则存在矩阵C∈S使得γ(e1nxt)=Ce1nxt,∀t∈R.取t=1,则ennx=Ce1nx.得x=0,与假设矛盾.

注3根据上述命题,如果取n=2,则S=T2(R)同时也是一个非右小内射的形式三角矩阵环的例子.

下面给出一个右小内射的形式三角矩阵环的例子.

最后,给出关于群环小内射性的部分结论.环R称为半局部环如果商环R/J为半单环.

引理2[6]设R为环,G为有限群.则群环RG为右自内射环当且仅当R为右自内射环.

引理3[7]设R为半局部环,G为有限群.则群环RG也为半局部环.

命题2设R为半局部环,G为有限群.下列性质等价:

1)R为右自内射环.

2)R为右小内射环.

3)RG为右自内射环.

4)RG为右小内射环.

证明根据引理2,1)⟺3)、1)⟹2)和3)⟹4)显然成立.由于R为半局部环,G为有限群,由引理 3知,RG为半局部环.再由文献[3]中引理3.13的结论(如果R为半局部环,则R为右小内射环当且仅当R为右自内射环)可得2)⟹1)和4)⟹3).

)

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