基于复制理论的混凝土坝裂缝开度预测

孙斌斌 余维维 苏观南

（1.河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，南京 210098；2.河海大学水资源高效利用与工程安全国家工程研究中心，南京 210098；3.河海大学水利水电学院，南京 210098）

在大坝原型监测资料分析的工作中，往往会对某些测点的历史观测值建立统计模型.如对大坝的变形、裂缝等测点，一般选取水位、温度、时效作为影响因子，利用最小二乘、逐步回归等方法进行回归分析［1］.该方法力学作用明确，拟合精度较高.而对于长久运行的混凝土坝，周围环境趋于稳定，时效分量的变幅越来越小，时效因子显著性降低.例如，陈村大坝裂缝测点观测资料的统计模型，不少测点时效分量变幅所占比例小于5%，而温度分量却高达75%～85%［2］，且测值序列呈现一定规律性.复制理论可应用于环境较稳定工程中，历史测值序列的分解与重构，并进行拟合及预测，计算简单.鉴于此，以陈村大坝工程为例，基于复制理论，对大坝某裂缝测点观测资料进行分析.结果表明，该方法的拟合和预测效果良好.

1 信号的复制生成理论

信号复制生成理论，首先由国外学者提出，后由我国学者不断发展并进行应用性研究［3－4］.其主要讨论信号复制分析，内容包括信号的复制特性、基于复制特性的信号的分解、信号的生成和复制信息等［5］.复制信息，是信号在分解与生成过程中的一种记录，表示了整个过程.

大坝安全监测中，不同观测量的观测值所形成的时间序列，是判别建筑物工作状态以及变化规律的依据，可以看成是建筑物所发出的信号.本文中将测值时间序列等价于信号，为便于表述，下文以序列代替信号.

1.1 序列的复制特性介绍

序列的复制特性，是某些特定序列本身所具有的一种性质.常见的有对称复制特性和平移复制特性两种，具体细分为奇、偶对称特性与正、负平移特性.

设函数f（t），t∈［0，2T］表示现有的一个序列，若满足

那么该序列具有偶对称复制特性，可以用fe（t）表示；若满足

那么该序列具有奇对称复制特性，可以用fo（t）表示；若满足

那么该序列具有正平移复制特性，可以用fp（t）表示；若满足

那么该序列具有负平移复制特性，可用fn（t）表示.上述4个函数的字母下标为复制信息，“e”、“o”、“p”、“n”分别用来表示“偶”、“奇”对称和“正”、“负”平移.若具有上述复制特性，只要获知一半的序列，就能通过特定的复制信息，复制生成另一半的序列.

对于长久稳定运行的水库大坝，坝基库盘力学特性趋于稳定，附近温度场趋于稳定，运行水位变化呈一定周期性，时效作用逐年降低，某些观测量测值随环境量的周期变化而呈现出周期性，具有一定复制特性的规律.这种测值序列，自身规律较为明显，受环境量的影响较为稳定，能够根据历时测值进行预测.

1.2 序列的分解

序列分解的目的，是将复杂的序列变成简单的序列，从而对简单序列进行研究，以了解复杂序列.大坝原型观测量测值序列相对较为复杂，难以用简单函数直接表示，可以通过分解变成简单序列.

数学上有两种常见函数分解方法：奇偶对称函数分解和正负平移函数分解.

1）奇偶对称分解：函数f（t），t∈［－T，T］可分解为一个偶函数和一个奇函数之和，即

式中，

如果重复上述过程，就能不断分解.简化起见用二进制码“0”、“1”代替奇偶下标“e”、“o”，去掉数字上标，便可以得到分解树状图，如图1 所示.每分解一次，函数定义域长度变为原来的一半.

图1 序列分解树状图

2）正负平移分解：函数f（t），t∈［0，2T］可分解为的正平移函数和负平移函数之和，以及之差，即

式中，

正平移函数fp（t）、负平移函数fn（t）用于表示原函数f（t），定义域变成了原函数的一半.同样，函数fp（t）、fn（t）继续分解，重复过程，仍然能得到如图1所示的树状图.此时，“0”、“1”分别代表“p”、“n”.

观测量测值时间序列，可看成为离散函数，只要测值足够多，就可通过奇偶对称或者正负平移分解若干次，得到足以用简单函数表示的简单子序列.

1.3 序列的重构

序列的重构包括对子序列的拟合，拟合后子序列的还原，以及子序列重构.

1.3.1 子序列的拟合

原序列分解若干次得到的简单子序列，可以用一些简单函数拟合，如多项式函数，三角函数、指数函数等.由子序列过程线的形状，结合经验，判断用何种简单函数拟合.也可以给定拟合标准，实现计算机自动选取最优的简单函数进行拟合.拟合函数用来表示该子序列，用于之后的子序列还原以及重构.

1.3.2 子序列的还原

通过奇偶对称或者正负平移分解得到的子序列，分别对应于对称复制与平移复制方式［6］进行还原.文献［7］指出，对称复制方式和平移复制方式之间存在着内在的联系.通过复制信息的转化，两种方式能够进行转换.某种意义上说，对称复制和平移复制在本质上是等效的.故选择平移复制进行阐述，下文实例采用正负平移分解以及平移复制的方法.

从图1中可以看出，平移函数的下标为自然二进制序列，“0”、“1”分别表示正平移函数和负平移函数，记录了某个子序列函数得到过程.比如以分解3次为例，下标“001”，表示该子序列由原始序列经过3次分解，第1步变成正平移函数，第2步也为正平移函数，第3步变成了负平移函数，且定义域由原先的［0，2T］变成了［0，T／4］.还原子序列的顺序恰恰跟生成方式相反，若要将该子序列还原，须反方向对其进行3次复制，分别为“负”、“正”、“正”平移复制，此时定义域又变成了［0，2T］.复制3次，序列长度从“1”变成了“8”，见表1.

表1 子序列复制3次的结果

表18行8列还原序列相当于一个8阶的沃尔什码（Walsh Code）矩阵［8－9］.故若要将子序列进行还原，本文提出按下式进行计算的方法：

R（t）m为m 个子序列的还原矩阵；m＝2n，n 为序列复制次数.

1.3.3 还原序列的重构

还原矩阵R（t）m表示各个子序列的还原结果，对其进行重构，才能得到由子序列复制产生的母序列.只须将R（t）m中的元素按列相加，即

1.4 序列的预测

子序列用简单数学函数表达后，能用于预测.m个子序列分别预测k 个值，得到m 个迷你子序列.对m 个迷你子序列进行重构，能得到一个迷你母序列，称为原始序列的“分段预测值”.

所谓“分段预测值”，是因为把原序列按长度分成m 段，迷你母序列同样也分成m 段（一段k 个值）.每一段“分段预测值”，分别预测了原序列对应每一段发展情况，如图2所示.前m－1段预测值，分别验证原序列的某一段前k个值.

图2 分段预测

第m 段的k 个预测值，表示对原序列进行了k个值的预测.至此，预测工作也已经完成.

2 实 例

2.1 工程概况

陈村水电站位于皖南长江支流青弋江上游，距泾县县城35km，距芜湖市150km.工程动工于1958年8月，在1969年11月至1971年进行Ⅱ期施工，1978年大坝又加高了1.3m.大坝运行几十年，坝址基岩库盘力学性质趋于稳定，附近温度场呈稳定的周期变化.且由于大坝裂缝的影响，水库控制运行，水位变幅较小.陈村大坝裂缝开度变化情况，影响着工程的安全与稳定.

2.2 拟合效果

取陈村大坝某测缝计2009年1月1日～2011年12月16日共1 080 个裂缝开度观测值作为原始序列.本次对序列正负平移分解n＝3次，得到m＝2n＝8个子序列，每个子序列135个数据，利用多项式函数对8个子序列进行拟合.图3为“101”、“111”子序列的拟合情况.

图3 子序列拟合

将拟合后的子序列进行还原，并重构为母序列.得到的是一个分成8段，共1 080个值的序列，是对原始序列的拟合，如图4所示.计算得剩余标准差S为0.011 7.

图4 母序列拟合效果图

作为比较，对裂缝开度实测值利用逐步回归分析建立统计模型，取水压、温度、时效作为影响因子.结果显示剩余标准差S 为0.012 2，大于复制理论的标准差.从变幅分离结果看，3 年内温度分量分别占裂缝年变幅的81.28%、84.30%、82.38%，时效分量占7%左右，可见裂缝开度主要受温度影响，且相对比较稳定.在较为稳定的环境下，从测值序列自身规律入手，应用复制理论拟合实测值，效果良好.

2.3 预测效果

以2011年12月17日～2011年12月22日共6个观测值作为预测样本，子序列拟合后，均预测k＝6个值.对8个迷你子序列进行重构，得到48个值的序列，其中前42个值是对原序列的“分段验证”，而后6个数值为对原序列的预测，作为主要研究对象，计算结果见表2.由表可看出，误差较小，且误差值均小于S＝0.011 7，预测效果良好.

表2 实测和预测情况比较

3 结 语

本文对观测值自身序列进行处理，基于复制理论，将测值序列分解为简单的短序列，对短序列处理后进行重构，拟合原序列并进行预测，陈村大坝实例所表现出的效果良好.该方法主要适用于运行多年，且运行环境较为稳定的混凝土大坝工程，计算简单，工作量小于利用回归分析建立统计模型，可供类似工程借鉴.

［1］ 顾冲时，吴中如.大坝与坝基安全监控理论和方法及其应用［M］.南京：河海大学出版社，2006.

［2］ 顾冲时，郑东健.陈村水电站大坝安全第三次定期检查陈村大坝监测资料分析［R］.南京：河海大学，2008.

［3］ Swick D A.Walsh Function Generation［J］.IEEE Trans on Information Theory，1969，15（1）：167.

［4］ Li Zhihua，Zhang Qishan.Ordering of Walsh Functions［J］.IEEE Trans EMC，1983，25（2）：115－119.

［5］ 宁丽丽.基于复制理论的股市预测［D］.西安：长安大学，2009.

［6］ 张其善，王 钢，金明录.信号的复制生成理论及其在通信中的应用［J］.航空学报，2001，22（Z1）：30－33.

［7］ 李植华，张其善.沃尔什函数的统一定义［J］.清华大学学报：自然科学版，1984，24（1）：105－113.

［8］ 郭黎利，张 昕，林继华，等.沃尔什（Walsh）码的频谱特性分析［J］.哈尔滨工程大学学报，2003，24（5）：552－555，570.

［9］ 刘心平.沃尔什函数复制理论与正交用表［J］.北京联合大学学报，1998，12（S1）：132－140.