利用数学建模进行高等数学教学改革

李 丽 李晓晓

山东电力高等专科学校 山东 济南 250002

1 高等数学教学改革的探讨

高等数学是非常重要的一门基础课，但是由于传统数学教学模式古板，让许多学生对此望而却步，成为大学学习道路上的绊脚石。数学建模的蓬勃发展，在一定程度上推动了高等数学教学的改革工作。它已成为高等院校数学教学改革的一个热门话题，并促进了数学课程设置、教学内容与教学方法的改革逐步向纵深发展。

传统的数学教学是以理论教学为主，有着严格的教学大纲，古板的考试模式和统一的教学格调，使得学生学习数学的积极性不高，数学作为“数学工具”的应用性不明确，作为准备知识与专业知识在连接上不连续，使学生“学时没兴趣，用时没掌握”，专业课教师也在抱怨学生碰到需要用数学来解决的问题就卡壳。这样的教学模式已经不再适应当今学生学习的特点，数学教育的改革势在必行。

然而基于教育的滞后性和局限性，以及教育过程的不可逆性和不可重复性，许多教育专家强调指出，对教育的大面积改革应当稳妥，应当慎重，以走小步、持续、健康地推进为宜。而在小步改革中，应解放思想，积极进取，大胆创新，务求突破。数学建模恰好是这类“小步”改革中的一环，是“小步”改革的切入口、突破口之一。并且近年来，计算机技术的迅猛发展为数学建模的发展提供了良好的条件，使得过去一些即使有了数学模型也无法解决的课题迎刃而解。而数学向一切领域渗透的趋势，又使得数学建模的重要性和迫切性也日益突出。社会对数学的需求除了数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人，善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。应运而生的数学建模恰好符合了这一历史需求。

2 用数学建模观指导高等数学教学改革

所谓“数学建模”就是：通过对实际问题的抽象、归纳、简化，确定变量与参数，并应用数学的理论和方法，建立起变量与参数之间确定的数学模型；然后运用数学和相关学科的理论、方法与计算机等技术手段，求解该数学模型；同时对该模型之解进行验证、解释、讨论，并对该模型进行修正、改进、推广，使之规范化，以展示其实际应用的前景。简而言之，数学建模就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程。目前，全国很大一部分高校参加了数学建模竞赛，我校也自1997年开始，参加了多次竞赛，不仅使学生得到了很好的锻炼，而且也带动了我校的数学教学改革。具体方法有以下三个方面：

2.1 教学过程中融入数学建模思维方法，充分调动学生学习的积极性。

数学教育本质上是一种素质教育。但一直以来，高等数学留给人们的却是严肃、枯燥和无用的感受，究其原因便是传统数学教学内容和体系一成不变、教学方式单一、教学以考试为目的。在这样的大环境下，学生对于数学积极性不高，甚至有抵触情绪。而数学建模的优势之处便在于能够将复杂的实际问题转化成有效的数学语言，并通过数学模型加以解决。因此，在教学过程中融入数学建模思维，让学生能感受到数学并不仅仅是用来考试的，而是来源于实践，又应用于实践，有着广泛应用的学科，充分调动学生学习的积极性。

在日常教学过程中融入数学建模的思维方法，即对于实际问题通过模型假设、模型建立和模型求解各个环节，对学生进行启发式诱导。这种互动式的教学模式有利于创设学生提问，和教师交流，为学生创造参与讨论的情景，激发学生学习的积极性和主动性，增强学生的创新能力，提升他们将实际问题转化成数学语言的能力以及利用数学工具解决问题的实践能力。

2.2 教学内容中融入数学建模，提高学生的数学应用能力

1）通过生动有趣的实例引出概念和性质。

传统数学教学模式古板，重视理论推理、轻视应用。基于此，我们对本课程的内容和方法进行了必要的调整和改革，在分模块教学的同时，力图在教学过程中充分渗透数学建模的方法。

比如定积分概念的引入，可以这样设计：我们会求规则图形的面积，像三角形、正方形、长方形和梯形等等，可是实际生活中我们还会遇到一些不规则图形求面积问题，比如操场的面积、不规则游泳池的面积、校园内景观湖的面积等，这些问题都可以利用定积分来解决。如此，可以让学生在上课开始就感受到要学习的知识应用的广泛性和重要性，增加学习积极性。当然，在后面讲定积分的应用时，就可以将一开始引入的案例比如校园内景观湖的面积，转化成数学模型，引导学生自己求解。这样的引入和解决问题的过程，可以让学生感受到抽象的积分是可以解决我们身边实际问题的，不但激发了学生学习的兴趣，而且也培养了学生利用数学思想方法解决问题的能力。

2）精心选取和设计适合学生的实际案例。

我们与校内各不同专业的教师座谈，共同探讨数学课程教学、加强学生素质教育和培养学生实践能力的途径和方法。通过调查，掌握了不同专业对数学课程内容的不同要求，同时还发现了学生在后继课程中应用数学时遇到的问题。

基于此，我们可以加入一些与学生专业相关的数学模型问题。比如讲微分方程的应用时，电气工程专业的数学教学内容中可以应用如下案例。

案例：［RC回路］在一个包含有电阻R （单位：Ω），电容C（单位：F）和电源E（单位：V）的RC串联回路中，由回路电流定律知，电容上的电量q（单位C）满足以下微分方程

若回路中有电源400cos2tV，电阻100Ω，电容0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻t电路中的电流。

（2）求通解，此方程是一阶线性微分方程，P（t）＝1，Q（t）＝4cos2t，则方程的通解为

（3）求特解，将t＝0时，q＝0代入通解，得

这种方法虽然不一定和专业课中解决问题的方法完全一致，但是学生通过自己动手解决问题，既能在书本上接触一些实际问题，形成理论联系实际的思想，培养初步的分析、解决实际问题的能力，也能体会到数学是一切科学技术的基础，学会怎样用数学去解决实际中存在的问题，从而自觉培养运用数学工具解决实际问题的能力。

2.3 融入数学建模的教学手段，提高学生的实践能力

在讲解数学课程的同时，适当加开数学模型和实验课，这类课程特别强调以学生动手解决实际问题为主，使学生以更直观、更真切的方式感受课堂上听起来枯燥玄妙的数学理论和数学原理，对实验内容有更好的理解和掌握，这种新视觉、新感受会激发学生学数学、用数学的兴趣和热情。而关于数学建模的知识是联系数学与实际问题的桥梁，也可以看作是数学实验从广度和深度的进一步提高，需要学生利用相关的软件如Matlab、Mathematics、Lingo、Excel、Sas、C＋＋等解决实际问题。

我校自1997年开始，参加了多次数学建模竞赛。参加竞赛的学生需要选修数学模型和实验课，这些学生受到了培养和锻炼，他们体验了建立数学模型解决实际问题的全过程，体验了合作，体验了创造的艰苦和欢乐，体验了如何使用计算机为解决问题服务，体验了如何将自己的成果写成论文以有利于获得承认与采纳，等等。参加过竞赛的学生普遍感到，得到的收获远不是一张奖状所能表达的。而当他们进入社会之后，竞赛的效果更加显现出来，参加竞赛的经验对于他们适应社会的需要起到了巨大的作用。虽然由此受益的学生并不多，但是也体现了数学模型和实验课在数学教学中的作用。

3 结束语

学习数学，不仅仅只是在于学到了数学知识、掌握了一门科学工具并准备去应用它，更主要是在于通过领略数学独有的严密逻辑思维体系，逐步掌握数学的思维方法，并会应用到其它领域。正如爱因斯坦所说：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个体系如此精密地一步一步推进，以致它的每一个命题都是不容置疑的——推理的这种可赞叹的胜利，使人们获得了取得以后成就所必需的信心。”这正是数学将会发生超乎数学以外的重要作用之所在。而数学建模却正好具备提高学生数学修养的功能，可以使学生知识能力、设计能力、实践能力、价值判断能力、社会协调能力、终身学习能力等各方面能力得到提高，因此将数学建模的方法融入到教学的各个环节，对于培养高素质人才有着重要的意义。

［1］杜建卫，王若鹏.数学建模基础案例［M］.北京：化学工业出版社，2009.

［2］赵志新，费忠华等.大学数学实践性教学模式的构建与实践［J］.中国高教研究，2008，（3）.

［3］朱荣生，陈明.工程数学与工程实践能力的培养［J］.工科数学，2002，（6）.

［4］陈克西，陈宝根，唐生强.数学建模与数学教学改革［J］.大学教育科学，1999，（1）.

［5］费忠华，赵志新等.高等数学课程在“大工程观”理念下的改革与实践［J］.中国高教研究，2007，（12）.