基于组合模型的高程拟合方法及精度分析

王明孝，张之孔

（68029部队，甘肃 兰州 730020）

GPS测量已经成为常规测量的一种主要方式，但是GPS测量的高程是WGS－84坐标系下的大地高H大，表示的是该点至参考椭球面的铅垂距离。但是在实际工程应用中采用的是正常高程系下的正常高H正，即该点至似大地水准面的铅垂距离。因此，为便于工程应用，将大地高转换成正常高就成了现实工作的需要。地面点的大地高H大和H正之间的转换关系为

式中：ζ表示似大地水准面至参考椭球面的高差，称为高程异常。显然要求取正常高就必须测定高程异常值ζ。目前，常用的用于高程转换的方法有很多。而通过拟合获取高程异常的方法已得到广泛应用，但是任何单一的拟合模型都具有一定的缺点，本文采用加权二次曲面拟合和曲面函数拟合2种模型对控制点的高程异常分别进行拟合，再以LINGO软件为工具，加入约束条件，同时赋予这2种拟合模型不同的权重，通过线性规划求解各模型的权重，从而组成新的拟合模型，再对控制点高程进行重新拟合，得到更为科学准确的拟合结果。

1 加权二次曲面高程拟合

1.1 常规二次曲面拟合

二次曲面拟合的数学模型为

式中：x，y分别为点的高斯平面坐标，a0，…，a5为拟合系数。

由式（2）可知，二次曲面方程有6个待定系数，因此，至少需要6个高程异常已知点才能进行计算。二次曲面拟合模型是将高程异常近似看作一定区域内各点坐标的曲面函数，用已联测水准的GPS点的平面坐标和高程异常来拟合这一函数［1］。

1.2 加权二次曲面拟合

如果加入未知点到已知点的距离倒数平方这个值作为评价各已知点对整个模型的贡献度，即进行定权，求出函数的拟合系数，进而确定一定区域高程异常与点的平面坐标的函数关系，这就是加权二次曲面拟合。其基本思想是：以待求点为计算中心，取拟合半径内的已联测点到中心点的距离的平方倒数为该已联测点的权，即离待求点越近权值越大，反之亦然。利用这个拟合函数拟合得到待测点的高程异常，从而求出该点的正常高［2］。因此，加权二次曲面拟合是对二次曲面拟合模型的进一步优化，设待拟合点的坐标为（xp，yp），则已联测点原坐标（xi，yi）简化为相对坐标）的公式为

假设参与拟合的点数为n，可列出误差方程

表示成矩阵形式为

式中：V＝［v1v2…vn］T为改正数向量，A＝［a0a1a2a3a4a5］T为拟合系数向量，ζ为高程异常值向量，系数矩阵

引入距离定权，联测点（xp，yp）的权值为

则拟合半径内的已联测点的权阵为

由最小二乘原理VTPεV＝min，如果测区内已联测点的个数大于6个，用最小二乘原理求得系数向量为

利用系数矩阵A和式（2）就可以求出待定点的高程异常ζ（Xp，Yp），再根据正常高和大地高之间的关系就可以求出正常高。加权二次曲面高程拟合模型的特点是，对于每一个待求点都能根据其各自权阵构造一个与之对应的二次曲面函数，实现变系数二次曲面拟合。

2 多面函数高程拟合

2.1 多面函数高程拟合原理

多面函数法从几何观点出发，解决根据数据点形成一个平差的数学曲面问题。此方法的基本思想是：任何数学表面和不规则的圆滑表面，总可以用一系列有规则的数学表面的总和，以任意精度逼近［3］。当参与拟合的点数为n时，其方程的形式为

式中：ρi为待定参数，F（x，y，xi，yi）为x，y的二次核函数，常用的二次核函数为

式中：δ2为任意常数，称为光滑因子。k的取值有多种，比较典型的是当k＝0.5时为正双曲面函数，k＝－0.5为倒双曲面函数。由此可以看出核函数的选取不是唯一的。

若有n个已知点，则可以选取其中m个点（m≤n）作为核函数的中心点，记为（xi，yi），令

则所选的各已知点应该满足

由此列出误差方程

表示为向量

采用最小二乘平差得

由式（15）即可求得任意未知点的高程异常ζ，进而求得未知点的正常高。

2.2 多面函数高程拟合参数选取

由于多面函数法基于纯数学的逼近理论，因此，拟合效果与核函数的选择密切相关。为计算方便，本文将正双曲面函数作为本次实验的核函数，并且将光滑因子定义为0.8，得

3 组合模型的建立与求解

组合模型是将不同的GPS高程拟合模型进行组合，且尽可能地提高拟合精度和可靠性。本文所建立的组合模型是在加权二次曲面拟合法和多面函数拟合法的基础上，利用最小二乘法原理，以拟合绝对误差平方和最小为目标，赋予2种拟合模型不同的权重，并规划求取权重系数而建立起新的拟合模型［4］。

设（i＝1，2，…，n；j＝1，2）为高程异常的拟合值，（i＝1，2，…，n；j＝1，2）为高程异常的真值，Pj为第j种方法的权，则有

从式（17）可以看出，建立加权组合模型的关键在求取每种单一模型在组合模型中所占的权重。根据式（18）可得到基于该组合模型的拟合残差为

矩阵形式为

则有

至此，可以建立起求取最优权重的规划模型

通过LINGO软件计算式（21），就可以得出本文所采用的2种几何模型在拟合绝对误差平方和最小的条件下的权重，从而建立起基于二次曲面函数和多面函数的优化组合模型［5］。

4 算例分析

实验区为酒泉某千万千瓦级风电场，区域地形平坦，控制点分布如图1所示，16个GPS控制点全部用几何方法联测了其正常高且精度满足四等水准。本次实验均匀地选取其中的10个点D33、D34、D35、D38、D48、D50、D51、D52、D54、D66用作拟合模型参数计算，在进行多面函数拟合时，将这10个点都作为核函数的中心点参与计算，拟合点成果如表1所示。其余6个点D36、D37、D47、D49、D53、D65作为检核点以检查模型拟合的精度，为了验证各拟合方法的精度，分别按照加权二次曲面拟合方法、曲面函数拟合方法计算得到6个检核点的高程异常，结果如表2所示。

图1 控制点分布图

表1 高程异常拟合点成果

表2 高程异常拟合结果统计

从表2可以看出，采用2种不同的方法，在不同的点位，拟合结果与真值的差值均不一致，总体上加权二次曲面法拟合方法要高于多面函数拟合的内符合精度，但是由于加权二次曲面拟合方法与已知点距离密切相关，当待拟合点在区域边缘，精度会受到一定的影响，如果权值最大的已知点位本身存在较大的误差，那么待拟合点的精度也会下降。而多面函数拟合法是从几何观点出发，是根据数据点形成一个平差的数学曲面，而核函数选取是一个比较困难的问题［6］，因此，拟合结果也会出现个别点较大的误差，导致2种方法会交叉出现较好的拟合数值。

为了得到更优的拟合结果，通过本文提到的组合模型的方法进行计算。根据表2和式（20），可以计算出

在LINGO软件中按式（21）编制计算程序如下：

p1＋p2＝1；

min＝428＊p1＾2＋619＊p2＾2＋274＊p1＊p2；

p1＞＝0；

p2＞＝0；

end

计算得到权重系数P＝（0.623 544 6，0.376 455 4）。可以看出，加权二次曲面拟合模型占的权重较大，这也归于加权二次曲面法拟合方法总体上要高于多面函数拟合的内符合精度。至此有了2个模型的权重参数，通过式（18）就可以构建出基于这2个模型的组合模型，进而可计算出基于该组合模型的高程异常拟合值，拟合结果及内符合精度见表3，在此基础上绘制出较差折线如图2所示。

表3 基于组合模型的高程异常拟合结果统计

从表2、表3及图2的对比中可以看出，组合模型拟合的内符合精度较前2种方法都有所提高，虽然从对单个点拟合结果的比较来看，采用组合模型进行拟合可能会导致相对于单个模型有精度损失，但是其数值整体表现更加平稳，不会出现单个模型下拟合出极值的现象，也就是说误差的跳跃性有所减小，结果更加稳定。

图2 各方法拟合检核点差值

5 结束语

目前，用于高程异常拟合的方法多种多样，并且得到越来越广泛的应用。但高程异常在空间上表现为复杂的不规则曲面，而任何单一的拟合模型都有其本身的缺点，因此，使用单个模型拟合出的高程异常值往往都会有缺点。本文将加权二次曲面拟合和多面函数拟合2种方法组合，以拟合绝对误差平方和最小为目标，赋予各拟合模型不同的权重，利用LINGO软件规划求取权重系数，从而建立起新的拟合模型。拟合的精度和稳定性有一定程度的提高，具有一定的实践指导意义。而多面函数拟合法的核函数选取仍是一个难题，需要在具体实践中不断完善。

［1］雷伟伟，郑红晓.二次曲面拟合法在区域似大地水准面精化中的应用［J］.测绘与空间地理信息，2008，31（6）：38－42.

［2］张之孔.加权二次曲面高程拟合方法及精度分析［J］.测绘科学与工程，2011，2（6）：26－28.

［3］王世君.多面函数法高程拟合应用研究［J］.山西建筑，2008，34（15）：355－356.

［4］付云文，袁伟.组合模型在GPS高程转换中的应用［J］.西华大学学报：自然科学版，2011，30（6）：30－33.

［5］谢金星.优化建模与LINDO＼LINGO软件［M］.北京：清华大学出版社，2005.

［6］金时华.多面函数拟合法转换GPS高程［J］.测绘与空间地理信息，2005，28（6）：44－47.

［7］袁豹，丁旭.多面函数模型中核函数个数对GPS高程拟合精度影响分析［J］.现代测绘，2010，33（6）：6－8.