一类非线性波方程时间周期解的存在性

赵 昕

(吉林农业大学 信息技术学院,长春 130118)

考虑如下问题:

(1)

其中f是连续函数并且关于t是2π-周期的.

Rabinowitz[1]首先应用变分法,在非线性项满足超线性增长且严格单调的条件下,证明了波方程(1)非平凡时间周期解的存在性,之后,文献[2-6]进一步探讨了非线性波方程(1)时间周期解的存在性与多重性.为了研究非线性波方程的时间周期解,通常要求f单调[1-2].Coron[7]通过引入对称子空间,避免了波算子无穷维核空间所导致的紧性缺失,将问题转化为在子空间上研究波方程的周期解,从而在非线性项非单调且满足超二次条件下,得到了自治波方程的非平凡解.文献[5]应用Coron的技巧,在非线性项超线性增长且满足非二次条件时得到了问题(1)非平凡时间周期解的存在性.文献[4]应用该技巧得到了在非线性项满足渐近线性增长时问题(1)非平凡时间周期解的存在性.本文应用该技巧在非线性项满足超线性增长条件下研究问题(1),并且在超二次条件和非二次条件可能不满足[8]时研究问题(1)在非单调条件下非平凡时间解的存在性.

假设:

(H1)f∈C([0,2π]×[0,π]×,);

(H2) 存在p>2和a1,a2>0,使得

(H3) 当|u|→0时,f(t,x,u)=o(|u|)关于(t,x)∈Q一致成立;

(H5) 存在常数C0>0,使得

H(t,x,u)≐uf(t,x,u)-2F(t,x,u)≤H(t,x,v)+C0,

其中0

(H6)f(t,x,u)=f(π+t,π-x,u),∀(t,x,u)∈Q×.

定义‖·‖r为空间Lr(Q)(r∈[1,∞))中的范数,(·,·)r为相应的内积.设空间

其范数为

其中

易见,E是自反Banach空间.令

定义函数Φ:E→,

(2)

由假设条件(H1),(H2)可知,Φ∈C1(E,)且Φ为强不定泛函.易知问题(1)的一个弱解对应于Φ的一个临界点.因为E0是无穷维的,故可用Coron技巧把泛函Φ限定在一个合适的子空间X,使得X∩Ker□={0}.实际上,设

X={u∈E:u(t,x)=u(π+t,π-x)},

记X+=X∩E+,X-=X∩E-,则有X=X-⊕X+,并且X在范数‖·‖X≐‖·‖E定义下是Banach空间.记‖u‖X为‖·‖,只需寻找Φ在X中的临界点即可.按照重数重新排列□的特征值为

…≤λ-,3≤λ-,2≤λ-,1<0<λ+,1≤λ+,2≤λ+,3≤…,

分别记φi(ej)为对应于λ+,i(λ-,j)的特征函数,则

在定理1的条件下， 类似于文献[5]的证明， 可得下列3个引理， 即Φ具有环绕结构并满足(C)c条件.

引理1若条件(H1)～(H3)成立,则存在ρ>0,使得

κ≐infΦ(∂Bρ∩X+)>0,

(3)

其中Bρ≐{u∈X: ‖u‖≤ρ}.

引理2假设条件(H1)～(H6)成立,则存在R>0,使得

supΦ(∂Γ)≤0,

(4)

其中

Γ≐{u=u-+sφ1:u-∈X-,s≥0,‖u‖≤R},

且‖φ1‖2=1.

引理3假设条件(H1)～(H6)成立,则泛函Φ满足(C)c条件.

定理1假设条件(H1)～(H6)成立,则问题(1)至少存在一个非平凡弱解.

证明: 由条件(H1)～(H3),(H5),可得F(t,x,u)≥0,并且对于任意的u∈X,Ψ(u)≥0.于是根据f的增长性和X紧嵌入到Lr(Q)(r∈[1,∞))易知,Ψ弱下半连续且Ψ′弱连续.又由引理1和引理2可知,存在泛函Φ的(C)c序列{un},使得c≥κ>0.再利用引理3可知,序列{un}在X中一致有界,且存在u0∈X,使得在X中un→u0,从而Φ(u0)=c>0,且

∀φ∈X.

因此,u0是问题(1)的一个非平凡弱解.

[1] Rabinowitz P H.Free Vibrations for a Semilinear Wave Equation [J].Comm Pure Appl Math,1978,31(1): 31-68.

[2] Brézis H,Coron J M,Nirenberg L.Free Vibrations for a Nonlinear Wave Equation and a Theorem of P.Rabinowitz [J].Comm Pure Appl Math,1980,33(5): 667-684.

[3] Castro A,Preskill B.Existence of Solutions for a Semilinear Wave Equation with Non-monotone Nonlinearity [J].Discrete Contin Dyn Syst,2010,28(2): 649-658.

[4] CHANG Xiao-jun,LU Jing-jing.Nontrivial Time-Periodic Solutions of a Class of Asymptotically Linear Wave Equations [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2013,51(3): 373-376.(常小军,路京京.一类渐近线性波方程的非平凡时间周期解 [J].吉林大学学报：理学版,2013,51(3): 373-376.)

[5] Costa D G,Magalhães C A.A Unified Approach to a Class of Strongly Indefinite Functionals [J].J Differential Equations,1996,125(2): 521-547.

[6] JI Shu-guan,LI Yong.Time Periodic Solutions to the One-Dimensional Nonlinear Wave Equation [J].Arch Ration Mech Anal,2011,199: 435-451.

[7] Coron J M.Periodic Solutions of a Nonlinear Wave Equation without Assumption of Monotonicity [J].Math Ann,1983,262: 273-285.

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