一类具非局部边界条件的拟线性抛物方程解的整体存在与爆破

孟繁慧,高文杰

(1.长春金融高等专科学校,长春 130028;2.吉林大学 数学学院,长春 130012)

0 引 言

考虑如下具非局部边界条件和内部吸收项的拟线性抛物型方程:

(1)

其中:Ω是N(N≥1)中具有光滑边界∂Ω的有界区域;a为正常数;u0(x),f(s)和k(x,y)分别满足如下假设条件:

(H1)f∈C([0,∞))∩C1((0,∞)),满足f(0)≥0,f′(s)>0,s∈(0,∞);

许多物理、 化学或生物种群动力学现象都可以用具非局部源的抛物型方程描述.例如,文献[1]指出非局部反应项能更精确地描述可压缩活性气体的燃烧过程.当f(s)=sp(0

(2)

在某种特殊情形下解的整体存在和衰减性质;文献[6]给出了问题(2)在k(x,y)≥0,g(x,u)=cu(其中c是一个没有任何限制的常数)情形下解的一个整体上界和特殊情形时边界值的衰减性质； 文献[7]建立了问题(2)的比较原理,并对一般形式的g(x,u)证明了问题(2)古典解的局部存在性,对g(x,u)=c(x)u的特殊情形,证明了解的整体存在性和指数增长性质.当g(x,u)关于u的增长超线性时,问题(2)的解可能在有限时刻爆破.特别地,文献[8]在g(x,u)=g(u)情形下讨论了问题(2),用上下解的方法给出了此时问题正解在有限时刻爆破的充分条件,此外,还给出了当g(u)=up及g(u)=eu时解的爆破速率估计.

考虑如下具非局部边界条件和局部反应项的多孔介质方程:

(3)

其中:m,p>1为常数;初值u0(x)和权函数k(x,y)满足与问题(1)相同的假设.文献[9]给出了问题(3)存在整体解的充分必要条件,并得到了解的爆破速率估计.文献[10-16]研究了具非局部边界条件的抛物方程或方程组,得到了一些有意义的结果.

上述研究表明,问题(2),(3)解的增长或衰减性质依赖于g(x,u)的增长,这与具齐次边界条件的半线性方程解的性质相似.另一方面,由于非局部边值的存在性,解的渐近性质也依赖于权函数k(x,y).基于此,本文研究问题(1)正古典解的渐近性质,考虑非线性扩散、 非局部项、 吸收项和非局部边界条件对解渐近性质的综合影响.

1 比较原理

则称v(x,t)是问题(1)的一个下解.改变定义1中不等号的方向可以得到上解的定义.如果函数v(x,t)既是问题(1)的一个上解又是一个下解,则称其为问题(1)的一个(古典)解.

问题(1)古典解的局部存在性可以用标准压缩映像不动点定理得到[7,17].正古典解的唯一性可由下述引理推出.

(4)

2 解的整体存在和爆破

证明: 考虑如下常微分方程初值问题:

(5)

证明: 先构造问题(1)的一个整体存在且下方有界的上解.记λ1和φ1(x)>0(x∈Ω)分别是如下特征值问题的第一特征值和相应的特征函数:

-Δφ=λφ,x∈Ω;φ(x)=0,x∈∂Ω.

(6)

(7)

Δv=div(v)

可得

(9)

另一方面,由式(7)可知,对任意的x∈∂Ω都有

(10)

(11)

证明: 通过构造一个下方有界且爆破的下解完成证明.考虑如下Cauchy问题:

(12)

(14)

(15)

式(13)～(15)表明,v(x,t)是问题(1)的一个下方有界的爆破下解.再次应用命题1可知u(x,t)也在有限时刻爆破.证毕.

还可证明当非局部项的系数a适当大时,对任意满足假设(H3)的k(x,y),问题(1)的解都在有限时刻爆破.为此,记ψ(x)为下述椭圆问题的唯一正解:

-Δψ(x)=1,x∈Ω;ψ(x)=0,x∈∂Ω.

(16)

证明: 考虑如下齐次Dirichlet边值问题:

(17)

(H4) 存在常数δ>0,使得对任意的x∈Ω,有

这里δ是满足δ+1≥a|Ω|的正常数.

引理2假设(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T时刻爆破,则对任意的(x,t)∈Ω×[0,T),有Δu≤0.

设w(x,t)=Δu(x,t),则由式(1)可知对任意的(x,t)∈Ω×(0,T),有

wt=upΔw+2pup-1u·w+pu-1utw+p(p-1)u-2ut-2pup-1-upw.

(18)

注意到ut≥0,0

wt-upΔw-2pup-1u·w≤pu-1utw-upw, (x,t)∈Ω×(0,T).

(19)

最后由假设条件(H4)可知

w(x,0)=Δu0(x)≤0,x∈Ω.

(21)

结合式(19)～(21)及引理1可得w(x,t)=Δu≤0,(x,t)∈Ω×(0,T).证毕.

引理3假设(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T时刻爆破.则存在正常数C1,使得U(t)≥C1(T-t)-1/p.

证明: 由方程(1)、U(t)的定义及引理2可得

U′(t)≤a|Ω|Up+1(t).

(22)

对式(22)在(t,T)上积分并注意到当t→T时U(t)→∞,得U(t)≥C1(T-t)-1/p,这里C1=(ap|Ω|)-1/p.证毕.

引理4假设(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T时刻爆破.则有ut≥δup+1,(x,t)∈Ω×(0,T).

证明: 记J(x,t)=ut-δup+1.直接计算可得

由Young不等式和Hölder不等式可知,对任意的正常数θ,都有

对任意的(x,t)∈∂Ω×(0,T),有

将式(27)代入式(26)得

(28)

此外,假设(H4)蕴含

J(x,0)≥(δ-δ)u0(x)p+1=0,x∈Ω.

(29)

对ut≥δup+1在区间(t,T)上直接积分可得

u(x,t)≤C2(T-t)-1/p, (x,t)∈Ω×(0,T),

(30)

这里C2=(δp)-1/p.综合U(t)≥C1(T-t)-1/p和式(30),得:

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