具积分边值条件四阶微分方程解的存在性

宋文晶,高文杰

(1.吉林财经大学 应用数学学院,长春 130117;2.吉林大学 数学研究所,长春 130012)

0 引言与预备知识

积分边值问题源于热传导问题[1]、 半导体问题[2]及水动力学问题[3],目前已有许多研究结果[4-10].本文基于文献[4-5],研究下列具有积分边值条件的四阶常微分方程解的存在性:

(1)

其中:f: [0,1]×4→和hi:→(i=1,2)是连续函数;k1,k2≥0;φ(u)是严格增的连续函数,且φ(0)=0,φ()=,=(-∞,+∞).

定义1设函数α,β∈C3([0,1]),φ(α‴(t)),φ(β‴(t))∈C1([0,1]),满足α″(t)≤β″(t),∀t∈[0,1],若下列条件成立,则称β(t),α(t)为问题(1)的一对上下解:

1) (φ(α‴(t)))′≥-f(t,α(t),α′(t),α″(t),α‴(t)),(φ(β‴(t)))′≤-f(t,β(t),β′(t),β″(t),β‴(t));

3)α′(0)-β′(0)≤min{β(0)-β(1),α(1)-α(0),0}.

定义2令集合D∶={(t,x0,x1,x2,x3)∈[0,1]×4:γi(t)≤xi(t)≤Γi(t),i=0,1,2},其中Γi(t),γi(t): [0,1]→(i=0,1,2)连续,且γi(t)≤Γi(t),i=0,1,2,t∈[0,1].若存在一个正的连续函数Φ: [0,+∞)→[a,+∞),a>0及参数p>1,使得下式成立,则称连续函数f: [0,1]×4→在D上满足Nagumo条件:

其中φ-1是φ的逆函数.记ν∶=max{|Γ2(1)-γ2(0)|,|Γ2(0)-γ2(1)|}.

引理1设f: [0,1]×4→是连续函数,在D上满足Nagumo条件,则存在N>0(仅依赖Γ2,γ2和Φ),使得满足γi(t)≤u(i)(t)≤Γi(t)(i=0,1,2)的问题(1)的每个解u(t),都有‖u‴‖∞≤N.

证明: 考虑修正问题:

(φ(u‴(t)))′+f*(t,u(t),u′(t),u″(t),u‴(t))=0, 0

其中

(4)

由中值定理知,存在一点t0∈(0,1),使得u‴(t0)=u″(1)-u″(0),从而有

-N<-ν≤γ2(1)-Γ2(0)≤u‴(t0)≤Γ2(1)-γ2(0)≤ν

记v0=|u‴(t0)|.

假设在区间[0,1]上存在一点,使得u‴>N或u‴<-N,则由u‴的连续性知,存在区间[t1,t2]⊂[0,1],且满足下列情形之一:

1)u‴(t1)=v0,u‴(t2)=N,v0≤u‴(t)≤N,∀t∈(t1,t2);

2)u‴(t1)=N,u‴(t2)=v0,v0≤u‴(t)≤N,∀t∈(t1,t2);

3)u‴(t1)=-v0,u‴(t2)=-N,-N≤u‴(t)≤-v0,∀t∈(t1,t2);

4)u‴(t1)=-N,u‴(t2)=-v0,-N≤u‴(t)≤-v0,∀t∈(t1,t2).

假设1)成立.因为t∈(t1,t2),-N≤v0≤u‴(t)≤N,所以有

(φ(u‴(t)))′=-f*(t,u(t),u′(t),u″(t),u‴(t))=-f(t,u(t),u′(t),u″(t),u‴(t)),t∈(t1,t2).

由Nagumo条件得,

|(φ(u‴(t)))′|=|f(t,u(t),u′(t),u″(t),u‴(t))|≤Φ(|u‴(t)|),t∈(t1,t2),

于是有

与式(4)矛盾.类似可证明其余3种情况.证毕.

引理2边值问题:

(5)

仅有平凡解.

证明略.

1 主要结果

假设条件如下:

(H1)β(t),α(t)是问题(1)的一对上下解;

(H2)f∈C([0,1]×4,),且在D∶=[0,1]×[α(t),β(t)]×[α′(t),β′(t)]×[α″(t),β″(t)]×上满足Nagumo条件,当(t,x2,x3)∈[0,1]×2,(α(t),α′(t))≤(x0,x1)≤(β(t),β′(t))时,f满足

f(t,α(t),α′(t),x2,x3)≤f(t,x0,x1,x2,x3)≤f(t,β(t),β′(t),x2,x3),

其中(x0,x1)≤(y0,y1),即x0≤y0,x1≤y1;hi:→(i=1,2)是连续的,且(u)≥0(i=1,2);

(H3)φ是连续的且严格递增,φ(0)=0,φ()=.

定理1假设条件(H1)～(H3)成立,则问题(1)至少存在一个解u(t),且对任意的t∈[0,1],有α(t)≤u(t)≤β(t),α′(t)≤u′(t)≤β′(t),α″(t)≤u″(t)≤β″(t),|u‴(t)|≤N,这里N是仅依赖于α,β和Φ的常数.

证明: 令δ1,δ2,δ3∈,且δ1≤δ3,定义

对于λ∈[0,1],考虑辅助问题:

(6)

其中Φ(|u‴(t)|)是Nagumo条件定义的,其边值为

(7)

选取M1>0,使得对任意的t∈[0,1],下列不等式成立:

1) 证明对λ∈[0,1],问题(6)-(7)的每个解u(t),都满足|u(t)|

如果λ=0,则由引理2知,结论显然成立.下面考虑λ∈(0,1].假设|u″(t)|

(13)

① 若t0∈(0,1),则u‴(t0)=0.由f和Φ的连续性及式(10)可知,存在η>0,使得当|y|<η时,有

-f(t,β(t),β′(t),β″(t),y)+[M1-η-β″(t)]Φ(|y|)>0.

由式(13),存在θ∈(0,min{t0,1-t0}),使得

|u‴(t)|<η,u″(t)>M1-η>max{0,β″(t)},t∈(t0-θ,t0+θ),

② 若t0=0,则

‴(0+)=u‴(0)≤0.

由式(7),(11)可得

矛盾.

③t0=1的情形同②.

因此u″(t)-M1,t∈[0,1]的情形,故|u″(t)|

由边值条件(7)知,存在一点ξ∈(0,1),使得u′(ξ)=0.经积分运算得

2) 证明存在M2>0,使得对于问题(6)-(7)的每个解u(t),都有|u‴(t)|

如果u(t)是问题(6)-(7)的一个解,则考虑集合

DM1={(t,x0,x1,x2,x3)∈[0,1]×4: -M1≤x0≤M1,-M1≤x1≤M1,-M1≤x2≤M1}.

定义函数Fλ:DM1→为

由于f在D上满足Nagumo条件,所以有

此外,有

因此,Fλ在DM1上满足Nagumo条件,且不依赖于λ∈[0,1].令Γi(t)=M1,γi(t)=-M1,i=0,1,2,由引理1知,存在M2>0,使得|u‴(t)|

3) 证明λ=1 时,问题(6)-(7)至少存在一个解u1(t).

定义算子M:C3([0,1])∩domM→C([0,1])×4为

Mu=(Φ(u‴(t))′,u(0),u(1),u″(0),u″(1)),

Nλ:C3([0,1])→C([0,1])×4为

其中:

由于M-1是紧的,因此考虑全连续算子Tλ: (C3[0,1],)→(C3[0,1],),Tλ(u)=M-1Nλ(u),集合

‴‖∞

由引理2知,u=T0(u)仅有平凡解,再由同伦不变性得,d(I-T0,Ω,0)=d(I-T1,Ω,0)=±1.因此,方程u=T1(u)在Ω上至少有一个解u1(t).

4) 证明函数u1(t)是问题(1)的一个解.

(14)

且存在s1,s2,使得

于是,对于t∈[s1,s2],有

但对于t∈[s1,s2],有

矛盾.

② 若s0=0,则

由于

故s0≠0.

由定义1,有

(0),

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