a尺度的二维四向小波问题

库福立,王 刚,库 媛

(1.新疆师范大学 数学科学学院,乌鲁木齐 830054;2.吉林大学 材料科学与工程学院,长春 130012)

0 引言与预备知识

小波分析在信号分析、图像处理、模式识别、语言合成、方程求解和分形力学等领域应用广泛[1-4].高维小波比一维小波应用前景更广阔,目前已引起人们广泛关注.由于2尺度小波对高频端具有较窄的带宽,因此2尺度小波分析效果较差.Daubechies[5]研究表明,除Haar小波外不存在既正交又对称的紧支撑的2尺度小波.因此,人们提出了a尺度小波理论[6].小波包具有对高频部分提供更精细分解的功能,这种分解既无冗余,也无疏漏,对包含大量中、高频信息的信号能进行更好的时频局部化分析,因而被广泛应用于图像压缩、信号处理和编码理论中[7]。a尺度正交小波包应用上灵活性较强,可以同时具有紧支撑性、正交性和对称性.本文基于双向小波理论[8-10]和双正交双向小波的构造理论[11],通过张量积构造a尺度二维四向小波,建立了a尺度二维四向具有紧支撑解的充要条件,给出了二维四向加细函数的紧支撑区间及二维四向双正交小波的概念和二维四向小波包的定义,并给出了两个构造实例.

∀f(x1,x2),g(x1,x2)∈L2(2),定义内积如下：

(1)

(2)

设F和G是两个一元函数空间,F的基底是{fk(x)}k∈,G的基底是{gk(y)}k∈,则以{fk(x)gk(y)}k∈为基底的二元函数空间H称为空间F和G的张量积空间,表示为H=F⊗G.对于二元函数f(x,y),引入记号φ(x,y)=φ(x)φ(y).

1 二维四向加细尺度函数

本文基于文献[10]提出的双向加细函数和双向加细小波理论,利用两个一元a尺度双向单小波φ(x)和φ(y),通过它们的张量积构造二维空间上的细分函数.

设双向细分函数φ(x)和φ(y)分别满足如下细分方程:

(3)

(4)

由φ(x,y)=φ(x)φ(y)得

其中:

对式(6)变形有：

对式(8)～(10)两边都做Fourier变换得：

令

Γ(x1,x2)=(φ(x1,x2),φ(x1,-x2),φ(-x1,x2),φ(-x1,-x2))T,

(14)

结合式(6),(8)～(10)可得

(15)

因此,方程(15)的频域形式为

Γ(ω1,ω2)=

(16)

其加细面具为

(17)

定义方程(6)的自相关矩阵如下：

(18)

其中：Ω11=〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω12=〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω13=〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω14=〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω21=〈φ(x1,-x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω22=〈φ(x1,-x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω23=〈φ(x1,-x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω24=〈φ(x1,-x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω31=〈φ(-x1,x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω32=〈φ(-x1,x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω33=〈φ(-x1,x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω34=〈φ(-x1,x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω41=〈φ(-x1,-x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω42=〈φ(-x1,-x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω43=〈φ(-x1,-x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω44=〈φ(-x1,-x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉.

引入变换算子τ:

(19)

其中Ω(ω1,ω2)是P(ω1,ω2)的Laurent多项式方阵,P(ω1,ω2)由式(19)给出,于是由Poisson求和算子得

(20)

进一步可知Ω(ω1,ω2)是变换算子τ相应特征值为1的矩阵.

定理1由式(6)给出的加细方程有紧支撑解当且仅当其面具符号满足下列4种情形之一：

(21)

证明：由张量积的定义易得.

2 二维四向多分辨分析

定义1设φ(x1,x2)∈L2(2),定义子空间序列{Vj}j∈⊂L2(2)：

由定义1,生成L2(2)中的一个多分辨分析当且仅当式(22)定义的{Vj}j∈满足下列条件：

1) …⊂V-1⊂V0⊂V1⊂…；

4)f(x1,x2)∈Vj⟺f(ax1,ax2)∈Vj+1；

5) 存在L2(2)中的一个函数φ(x1,x2),使集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基.于是,可找到两个常数0

(23)

定理3设尺度函数φ(x1,x2)∈L2(2)满足多分辨分析,构成V0的一组Riesz基,定义}.如果存在函数集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,则

证明：因为集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,因此对于任意的f(x1,x2)∈V0,存在两个常数0

从而对任意的f(x1,x2)∈Vj,有

定理4设φ(x1,x2)∈L2(2)满足式(6),由式(22)定义Vj,如果存在函数集{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,对于所有的有界；且在(0,0)附近连续,则2).

证明：由{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基知,存在正常数A≤B<∞,使得对于任意函数向量f(x1,x2)∈V0,有

则对任意函数向量f(x1,x2)∈Vj,有

设Pj是Vj的正交投影算子,则对所有的j∈,由有

另一方面,有

其中

综上,有

从而

于是,

3 双正交二维四向加细函数与小波

定理5[8-11]若二维四向加细函数φ(x1,x2)是正交的,则下列等式成立：

(25)

(26)

(27)

证明：由文献[11]的定理1和式(25),(26)的正交和双正交定义易证.

在式(28),(29)两边做Fourier变换,有

其中：

(31)

其中：h,l,s=1,2,…,a-1;γ,k,t=1,2,3.

(32)

(33)

证明：由式(31)的正交性易得.

4 分解与重构算法

同理有：

其中:h=1,2,…,a-1;γ=1,2,3.

于是

5 构造算法

证明：由式(27)不难验证:

同理,构造：

(36)

(37)

证明：由式(31),(32)易得.

6 二维四向小波包

先引入下列记号：

对应的Fourier形式为：

由命题2,可得：

其中加细面具符号为：

(44)

(45)

式中:h=0,1,…,a-1;γ=0,1,2,3.则有

(46)

其中:m,n=0,1,…,a-1;s,t=0,1,2,3.式(46)等价于

其中:h=0,1,…,a-1;γ=0,1,2,3;n1,n2∈.

引理1[12]对∀n∈+进行a进制展开：

(47)

式(47)是一个有限和,并且展开式是唯一的.

(48)

证明: 1) 当n=0时,式(48)显然成立；

2) 当0≤n≤aS0(S0为某个正常数)时,式(48)成立;当aS0≤n≤aS0+1时,由引理1,有aS0-1≤[n/a]≤aS0([x]表示不超过x的最大正整数),则有n=a[n/a]+λ,λ=0,1,…,a-1.用数学归纳法即证结论.

(49)

其中：k1,k2,n1,n2∈;m,n∈.

(50)

7 构造算例

例1构造两尺度二元正交小波,其两尺度符号如下：

用定理9的构造算法,可通过正交二元小波的两尺度符号构造二元四向加细函数的面具符号,从而生成正交的二元四向加细函数,可构造3组不同的二元四向加细函数的面具符号.这里只列出其中之一,其他同理可得.解方程组得

进一步得：

其中

其特征值为1,0,0.5,0,满足重构条件,所以P+,+(ω1,ω2),P+,-(ω1,ω2),P-,+(ω1,ω2),P-,-(ω1,ω2)生成一个正交二元四向细分函数.

例2构造两尺度二元双正交小波,由文献[7]的例子：

构造得：

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[4] Coifman R R,Meyer Y,Quake S,et al.Signal Processing and Compression with Wavelet Packets [C]//Wavelets Analysis and Application.Berlin: Springer-Verlay,1992: 77-93.

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