n维分数次Hausdorff高阶交换子的有界性

任转喜,陶双平

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

0 引言及预备知识

设f是n上的局部可积函数,l∈(-∞,∞),则n维分数次Hardy算子[1]为

(1)

其共轭算子为

(2)

易见,当l=0时,Hl即为高维Hardy算子:

(3)

(4)

此时算子H和H*满足

(5)

关于Hardy算子及其共轭算子的研究目前已经取得了丰富成果[2-6].实际应用中比Hardy算子更广泛的一类算子是Hausdorff算子,文献[7]研究了n维Hausdorff算子的三种推广形式,其中由Hardy算子直接推广的一种形式为

(6)

式中Φ是+上的局部可积函数.该算子及其变形的研究已引起人们广泛关注[8-10].结合分数次奇异积分算子,本文首先给出n维分数次Hausdorff算子的定义.

设f是n上的局部可积函数,0

(7)

设b为局部可积的实可测函数,m∈+,n维分数次Hausdorff算子和函数b生成的高阶交换子定义为

用B(x,r)表示n中以x为中心、r为半径的球,对于k∈,Bk=B(0,2k),Δk=BkBk-1,χk=χΔk表示集合Δk的特征函数.

定义1[12]设α∈,0

(9)

其中

(10)

定义2[12]设α∈,0

(11)

其中

(12)

当p=∞时取通常的极限情形.

(13)

(14)

BMO(n)⊂n)⊆n)(1≤p

(15)

引理1设1

证明: 利用Hölder’s不等式及极坐标变换得:

1 主要结果

1) 若

(18)

2) 若

(19)

(20)

证明: 1) 当Φ满足式(18)且α

对于Ⅰ,利用引理1中1)得

对于Ⅱ,利用引理2,有

对于Ⅱ1,利用引理1中1)及Hölder’s不等式得

对于Ⅱ2,利用引理1中1)得

因此,据Herz空间的定义得

易见

当0

当1

从而得到了1)的证明.

下面证明2).当Φ满足式(19)且α>-n(1/q-1/r′)时,有

先估计J,利用引理1中2)得

再估计JJ.利用引理2,有

对于JJ1,利用引理1中2)及Hölder’s不等式得

对于JJ2,利用引理1中2)得

因此,类似于情形1)的证明,可得到2)的证明.

最后证明3).当Φ满足式(18),(19),且-n(1/q1-1/r′)<α

由1)和2)知3)成立.证毕.

注3在定理2中若取α=0,1

证明: 本文仅给出情形1)的证明,对于情形2),类似可证.不妨设λ>0,由定理2证明中相应的估计,易得

注意到α

类似E1的估计,可得

(37)

(38)

证毕.

注4同注1,在定理4条件下本文得到了分数次Hardy算子及其共轭算子高阶交换子的有界性结果.

证明: 先证情形1).当Φ满足式(18)且1/q1=1/q2+(mγ+l)/n时,利用引理3和引理1中1),并注意到α

其余证明可类似于定理2中相应的证明完成,故略.

下证情形2).当Φ满足式(19)且1/q1=1/q2+(mγ+l)/n时,利用引理3和引理1中2),并注意到α>-n(1/q2-1/r′),有

其余证明可类似于定理2中相应的方法完成,故略.证毕.

注5在定理5中若取α=0,1

证明: 证明方法类似于定理3,故略.

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