洛必达法则的几何意义*

赵一博，李 娜

(山东女子学院 基础部，山东 济南 250300)

洛必达法则的几何意义*

赵一博，李 娜

(山东女子学院 基础部，山东 济南 250300)

将0/0型未定式极限看作参数方程所确定的平面曲线在一定点的切线斜率，将∞/∞型未定式极限看作参数方程所确定的平面曲线在无穷远处一点切线的斜率.从参数方程的角度揭示了洛必达法则的几何意义.

洛必达法则；几何意义；参数方程

洛必达法则是求极限的有效工具，是微积分的必学内容，常见的教科书中给出的该法则的证明大都利用柯西中值定理[1～3]，证明过程非常抽象，实际意义不明显.本文结合形象直观的几何意义，可以加深对该法则的理解.

1 参数方程所确定的平面曲线的切线斜率

由参数方程

(1)

2 0/0型未定式的极限问题

定理1 (洛必达法则Ⅰ)[3]若函数f(x)和g(x)满足：

(2)

曲线上定点P0，P的切线T，R如图1所示.

图1 曲线L上定点P0，P的切线

从图1可知，当t→t0时，切线R的极限位置即为切线T.由此得：

(3)

3 ∞/∞型未定式的极限问题

定理2 (洛必达法则Ⅱ)[4]若函数f(x)和g(x)满足：

2)f(x)和g(x)在点x0的附近(点x0可除外)可导，且g′(x)≠0；

图2 曲线L无穷远点A的切线

曲线上无穷远点A的切线T如图2所示.

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001：127-129.

[2]吴传生.经济数学-微积分[M].第2版.北京：高等教育出版社，2009：82.

[3]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007：78.

[4]张治俊.新编高等数学(上册)[M].北京：北京邮电大学出版社，2012：71-76.

[5]米先柯A C，福明柯A T.微分几何与拓扑学建明教程[M]. 张爱和,译.北京：高等教育出版社，2006：66-71.

OnGeometricMeaningofRule

ZHAO Yi-bo，LI Na

(The Basic Courses Department,Shandong Women’s University,Jinan Shandong 250300,China)

Assume that the curve is determined by the parametric function.The limit of the type of 0/0 can be viewed as the tangent of the curve at the fixed point.The limit of the type of / can be viewed as the tangent of the curve at the infinity point. Reveals the geometric meaning of the rule from the viewpoint of parametric function.

rule; geometric meaning; parametric function

1673-2103(2013)05-0008-02

2013-08-08

赵一博(1985-)，男，山东聊城人，助教，硕士，研究方向：非线性偏微分方程.

O172.1

A