波浪对淹没水平圆柱作用的非线性数值模拟＊

严 斌，林红星，宁德志＊

（1.大连理工大学 海岸和近海国家重点实验室，辽宁 大连116024；2.中国科学院 可再生能源与天然气水合物重点实验室，广东 广州510640）

波浪与淹没潜体相互作用，在潜体上由于水深变浅，波浪非线性增强，会导致大部分锁定波转换为自由波的形态存在，波浪场的变化会对潜堤本身及潜堤后工程结构有很大影响。而水平圆柱是众多淹没潜体中应用较多的一种，譬如海底石油、天然气输送管道和圆柱式防波堤等，开展波浪与淹没水平圆柱式结构相互作用的研究，对准确了解结构后的波浪场及对结构的作用具有重要意义。

国内外许多学者已经对波浪与淹没潜体作用展开了广泛的研究，如 Lee［1］，Vada［2］，Friis、Grue和Palm［3］应用二阶势流理论计算二阶自由谐波幅值；Cointe［4］采用完全非线性数值方法模拟了较大幅值波浪对淹没水平圆柱作用下的二阶自由谐波；Grue等［5－6］对深水波浪通过淹没潜体的波浪非线性绕射问题进行了试验研究，利用淹没结构物后两点处的波面对产生的高阶谐波进行分离，得出高阶谐波的波幅无因次量会随入射波浪幅增大而增大最终达到饱和的结论；郑永红等［7］利用一种改进的Boussinesq方程，对淹没潜堤上的波浪变形进行了数值模拟；张洪生等［8］建立了一种以新型Boussinesq方程为控制方程的非线性波传播的数值模型，能较好地模拟大水深水域和强非线性波的传播问题。陈丽芬等［9］运用高阶边界元方法数值模拟潜堤地形上波浪的传播变形，得到弱非线性下，潜堤后的基频波、二阶和三阶自由波幅值分别与入射波幅成线性、二次和三次函数关系。张婷婷［10］采用计算域内造波的方法建立数值模型，模拟了波浪在潜堤上的传播演化，并将波面和各阶谐波的计算值与实验结果进行了比较，得到吻合很好的数值结果。Williams［11］对靠近自由表面的水平淹没平板问题进行数值研究，得到了直至三阶自由谐波的波浪成分。付韵韵等［12］采用多级子展开法对作用在有限水深中淹没水平圆柱上的透反射系数和波浪力开展了理论分析；并在不同淹没深度和半径条件下进行了波浪对水平圆柱作用力的实验研究。姜胜超等［13］建立波浪对淹没垂直圆柱绕射问题的解析解，考虑了不同淹没深度与相对厚度对圆柱作用力影响，表明圆柱所受到的最大波浪力并不总是随着淹没深度的增大而减小，而圆柱厚度对波浪力的影响则较为复杂，在不同波数范围显示出不同的特性。

本文采用基于域内源造波技术的时域高阶边界元方法建立波浪与淹没水平圆柱相互作用的完全非线性数值水槽模型，可以实现在较小计算域内长历时模拟强非线性波浪对淹没圆柱作用过程。并通过两点分离法得到圆柱后的高阶自由谐波和锁定波，研究及其随入射波浪非线性、圆柱尺寸、淹没水深等因素的变化规律。

1 数学模型

1.1 控制方程和初始边界条件

考虑波浪和一固定水平淹没圆柱相互作用（图1），建立一笛卡尔坐标系Oxz，使得z＝0位于静水面上，且z轴向上为正，x轴向右为正方向，x＝（x，z）代表任一点的坐标。图中，Ω代表整个计算域，自由水面用Гf表示，水底为Гd，圆柱边界为Гb，入射边界为ГI，静水面至圆柱最上端的距离为h，静水深为H。

图1 水槽中波浪与一淹没水平圆柱作用示意图Fig.1 A sketch map showing the wave action on a horizontal submerged cylinder in a flume

在理想流体假定下，流域内可用速度势来描述。速度势通常满足拉普拉斯方程，为了防止从结构物反射回来的波浪在入射边界形成二次反射，本文在计算域内引入内嵌造波源，故速度势满足泊松（Possion）方程：

在固定边界Гd和Гb上满足速度势法向导数为0。在自由水面Гf上满足完全非线性动力学和运动学边界条件，采用半混合欧拉－拉格朗日方法更新自由水面，同时采用人工层布置在水槽两侧，来消除出流波浪，进而自由水面边界条件可写成如下形式［14］：

式中，η表示自由表面；g表示重力加速度；阻尼项μ（x）表示为如下形式

1.2 边界积分方程

在整个流域内应用格林第二函数，上述边值问题可转化为如下的边界积分方程［15］：

式中，ω为波浪圆频率；L为阻尼层宽度；x1（2）分别为左右阻尼层起始位置；α为阻尼系数，；本文取L为1.5倍入射波长，系数α＝1。

由于是进行时域数值模拟，需要给定初始边界条件，这里给定静初始边界条件，即：

式中，p＝（x0，z0）为源点；q＝（x，z）为场点；α（p）为固角系数；Γ为流域边界，包括自由水面边界和固体边界。G为简单格林函数，考虑水底的镜像作用，可以写成如下形式［16］：

对式（7）采用三节点的二次边界元进行离散，对每个单元通过数学变换，将其转换成参数坐标（ξ）下的等参单元，采用二次形状函数插值方法保证单元内物理量分布的连续性。积分方程经离散之后，可以建立关于速度势和速度势导数的线性方程组进行求解。由于所有节点和网格在每一时间步都要更新，所以方程（7）也要在每一时间步建立和求解一次，并采用四阶Runge－Kutta法计算下一时刻的速度势和波面。

1.3 淹没潜体后的波浪组成

当波浪传播至水平淹没圆柱上方时，水深变浅，非线性作用增强，产生与基频同速度传播的高频谐波，通过圆柱后，由于水深增大，波浪的非线性作用相对减弱，部分高频谐波由锁定波释放为自由波。在水平淹没圆柱后既包括锁定波也包含高频的自由波，因此，水平圆柱后x点处的波面可以写成如下的形式：

对于式（9）中的未知量，可以采用两点法［15，17］把潜体后两点波面时间历程带入到式（9）中，并利用三角变换及三角函数正交性来求解得到。

2 数值结果和分析

作为算例，考虑一静水深H＝0.45m的水槽中角频率ω＝6.594rad/s或ω＝7.66rad/s的规则波与一淹没水平圆柱相互作用，水槽长度为10倍波长，淹没水平圆柱中心横坐标为5.6m，图1中4个测点分别布置在x1＝5.2m，x2＝5.4m、x3＝6.2m和x4＝6.4m。通过开展数值收敛性试验，x和z两方向的网格数分别300和10，圆柱结构网格数为40个。

图2是入射波幅A＝16mm，静水面距离圆柱最上端距离h＝50mm，圆柱半径和波浪角频率分别为（R＝100mm，ω＝7.66rad/s）和（R＝190mm，ω＝6.594rad/s）两种种工况下，在t＝23T和t＝25T沿水槽x方向的波面分布，图中竖向虚线为圆柱中心所在位置（x＝5.6m）。从图中可以看出，在结构前的波面都是规则的，而在结构之后的波面是很不规则的，由此判断出潜堤前后的波浪组成及其相位角是有很大区别的，这也与堤前主要以锁定波为主体、堤后以自由波为主体的说法相一致。同时可以看出两个时刻下的波面历程重合很好，水槽两端阻尼层处出流波浪得到很好的吸收，未有明显的波浪反射现象发生，证明了本文数值模型的稳定性。

图2 波面在t＝23T和t＝25T沿水槽x方向的分布Fig.2 Wave surface distributions at t＝23Tand t＝25Talong the xdirection of the flume

图3是不同工况下堤后线性和二阶自由谐波幅值随入射波幅A的变化关系，图中还给出了本文数值模拟结果与试验结果［6］的对比，自由谐波幅值通过除以入射波幅值无量纲化。从图中可以看出，随着入射波幅A的增大，堤后线性自由谐波幅值衰减，而二阶自由谐波幅值先是增大到一极限值，然后随着入射波幅的进一步增大保持饱和状态（图3a）或递减状态（图3b和c），在图3b和c工况中，二阶自由谐波幅值最大可接近入射波幅的0.4倍，而线性自由谐波幅值最小可接近入射波幅的0.7倍。通过图a和b对比可知，随着波浪角频率的增大，波浪非线性增强，堤后自由谐波幅值变化斜率也更大；通过图a和c对比可知，随着淹没圆柱尺寸的增大，堤后自由谐波幅值变化斜率越大，堤后波浪非线性效果更明显。同时可以看出，本文数值模拟结果与试验结果吻合的很好，进一步验证本文模型的准确性。

图3 堤后线性和二阶自由谐波幅值随入射波幅变化关系Fig.3 Changes of the first and the second－order free harmonics amplitudes at the lee side of the submerged body with the incident wave amplitude

图4是对应图3中非线性最强工况（b、c）的淹没圆柱后二阶锁定波幅值随着入射波幅A的变化规律，图中一并给出了与解析解［17］的对比情况。从图中可以看出，锁定波的量级明显小于同一工况下的自由波，进一步说明由于潜体的作用，大部分锁定波被转化为自由波形态存在于堤后。本文数值结果与理论结果吻合的很好，进一步说明本文模型的可靠性。

图4 堤后二阶约束谐波幅值随入射波幅A变化关系Fig.4 Changes of the second－order bounded harmonics amplitudes at the lee side of the submerged body with the incident wave amplitude A

图5是静水深H＝0.45m，入射波幅A＝5.8mm，圆柱半径R＝100mm，角频率ω＝2π×1.05rad/s情况下，基频波幅值、二阶自由波幅值、三阶自由波幅值和二阶锁定波幅值随淹没水深h的变化关系。由图5可知，随着淹没水深的增加，基频波波幅增大并趋于入射波幅A，二阶自由谐波波幅、三阶自由谐波波幅呈高次函数关系快速减小，并逐渐趋于N（0）量级，二阶锁波波幅快速减小至N（0）量级，且在同等条件下量级远远小于二阶自由波幅值，这与图4得到的结论是一致的。图5进一步说明了水深对非线性的影响，及高阶自由谐波的产生与波浪非线性的密切关系。

图5 自由波和锁定波幅值随淹没水深的变化关系Fig.5 Changes of the free and bounded harmonics amplitudes with the submerged water depth

图6是静水深H＝0.45m，入射波幅A＝6.0mm，淹没水深h＝50mm，ω＝2π×1.05rad/s情况下，基频波幅值、二阶自由波幅值和三阶自由波幅值随淹没圆柱半径R的变化关系。从图中可以看出，随着圆柱半径R的增大，基频波幅值a1/A逐渐递减，而二阶自由谐波波幅值a2/A和三阶自由谐波幅值a3/A逐渐增大，但最终都趋于饱和，即达到一常量，而三阶自由谐波最先趋于饱和。这与Grue［7］在试验研究中发现在特定条件下高频自由谐波随着入射波幅值增大而趋于饱和的结论是相似的。

图6 堤后自由谐波幅值与淹没圆柱半径的关系Fig.6 Relationship between the amplitude of free harmonics at the lee side of the submerged body and the radius Rof the submerged cylinder

3 结语

本文采用基于域内源造波技术的时域高阶边界元方法建立了波浪与淹没潜体相互作用的完全非线性数值水槽模型，并通过两点法分离得到淹没潜体后的高阶自由波和锁定波。通过与试验数据和解析解的对比验证了本文模型的准确性。通过数值试验分析可以得到以下结论：随着入射波浪非线性增强，基频波幅值逐渐减小，高阶自由谐波幅值逐渐增大至一最高值呈饱和状态或减小变化，而锁定波波幅尽管也随着入射波幅增大而增大，但在量级上远小于对应的自由波；潜体淹没水深越小，高阶自由谐波贡献越大，基频波衰减越大。

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