一类不确定Lurie系统的输出反馈H∞滑模控制问题

周长芹，孟晓玲，毛北行

(郑州航空工业管理学院 数理系，河南 郑州 450015)

滑模控制作为一种重要的鲁棒控制策略，以其响应快、对内部参数摄动和外部干扰不敏感等优点得到了广泛的应用，文献[1]研究了非匹配不确定输入时滞系统的自适应滑模控制问题，文献[2-3]研究了一类切换系统的滑模控制问题，文献[4]研究了不确定输入时滞系统的滑模输出反馈控制问题，文献[5-6]研究了Lurie混沌系统的同步控制问题.本课题研究了一类不确定Lurie系统的输出反馈H∞滑模控制问题，并证明了设计的切换面的可达性，基于Lyapunov稳定性理论给出了系统渐稳的充分条件.

1 主要结果

考虑如下的一类不确定Lurie系统

(1)

其中f(σ)位于有限的霍尔维茨角域之中：

(2)

A,B,C,D,F,T为适当维数的常数矩阵，△A(t)=EF(t)H，E和H为适当位数的常数矩阵，不确定矩阵F(t)满足F(t)TF(t)≤I，

(3)

假设B列满秩，(A，B)能控，(A，C)能观.

引理1 给定适当维数的矩阵Y,D和E,F，则Y+DFE+ETFTDT<0对所有满足FFT≤I的矩阵F成立，当且仅当存在一个常数λ>0，使得Y+λDDT+λ-1ETE<0.

引理2 (Schur补引理) 设A,B,C为适当维数的矩阵，则下面3个式子等价：

(1)A<0,C-BTA-1B<0；

(2)C<0,A-BTC-1B<0；

对系统(1)设计如下观测器：

(4)

(5)

(6)

设计滑模控制律为

(7)

定理1 在满足状态观测器(4)和切换函数(6)的条件下，滑模控制律(7)能够保证系统轨迹在有限时间内到达切换面s(t)=0上，并沿着切换面运动.

(8)

分别得到滑模动态方程和估计误差方程：

(9)

定理2 选择上述切换函数和控制律，若存在正定矩阵X,Y,标量ε1>0,ε2>0满足如下不等式：

(10)

且滑模矩阵G=BTX，观测增益矩阵为L=X-1Y，则闭环系统(9)具有H∞性能指标γ.

利用引理1很容易得到

(11)

(12)

由引理2可知不等式(12)等价于不等式(10),从而系统具有H∞性能指标γ，另一方面，当ω(t)=0时,

2 仿真算例

f(σ)=0.68x1+0.295(|x1+1|-|x1-1|)，

E=[0.2 0.4 0.2]，H=[-0.2 0.3 -2]，F(t)=sint，K=[0.2 0 0.3]，

通过求解线性矩阵不等式得到

ε1=0.120 4, ε2=0.231 7, ε3=0.890 5，

控制信号u(t)和系统状态x(t)的轨迹见图1和图2.

图1 控制信号u(t)的轨迹 Fig.1 Trajactories of control signal u(t)

图2 系统状态x(t)的轨迹Fig.2 Trajectories of systems state estimation x(t)

3 结束语

研究了一类不确定Lurie系统的输出反馈H∞滑模控制问题，并证明了设计的切换面的可达性，基于Lyapunov稳定性理论给出了系统渐稳的充分条件.

参考文献：

[1] 王明顺，于滨，高宪文.非匹配不确定输入时滞系统的自适应滑模控制[J].东北大学学报：自然科学版，2008,29(8)：1069-1072.

[2] 何召兰，王茂，崔阳.一类切换系统基于观测器的滑模降阶控制[J].控制理论与应用，2009,26(6)：704-708.

[3] 何召兰，王茂，周卫宏.一类切换系统降阶输出反馈滑模控制[J].系统工程与电子技术，2008,30(10)：1962-1965.

[4] 贾廷纲,牛玉刚,夏康.不确定输入时滞系统的滑模输出反馈控制[J].信息与控制,2011,40(6):809-812.

[5] 何汉林,涂建军,熊萍.一类Lurie混沌系统的全局渐近同步[J].华中科技大学学报,2010,38(2)：38-40.

[6] 毛北行，王东晓，卜春霞.Lurie混沌系统的脉冲控制同步[J].华中师范大学学报：自然科学版，2012,46(3)：297-299.