Banach空间的不动点定理及其证明

熊 骏 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

桑洪新 (仙挑市第八中学，湖北 仙挑 433000)

Banach空间的不动点定理及其证明

熊 骏 (长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

桑洪新 (仙挑市第八中学，湖北 仙挑 433000)

中闭球到自身的连续映射至少有一个不动点(BROWER不动点定理)。给出了Banach空间中的不动点定理及其证明，该定理可以作为BROWER不动点定理的推广。

不动点定理；Banach空间；连续映射

定理1 设M是Banach空间B中的紧凸集，T是M到自身的连续映射，则T至少有一个不动点，即至少存在x∈M,使得Tx=x。

(1)

(2)

这样当限制在Mk上时，映射Tk∘T是Mk到自身的连续映射。注意到Mk同胚于Rn中的单位球，其中n=rank{x1,x2,…,xn}，由BROWER不动点定理[1-2]知，映射Tk∘T至少有一个不动点，记为xk∈Mk。再由M的紧性，对于k∈Z+，序列{xk}包含一个收敛的子列，不妨就设xk→x∈M,(k→∞)，下证x就是T的不动点。

事实上，把式(2)应用于Txk得：

令k→∞，由T的连续性得到Tx=x。

定理2 设M是Banach空间B中的闭凸集，T是M到自身的连续映射，若T(M)予紧，则T至少有一个不动点。即至少存在x∈M,使得Tx=x。

定理3 设T是Banach空间B中到自身的紧映射，并假设存在正常数Q使得，对∀x∈B及σ∈[0,1]，只要有x=σTx，就有：

‖x‖

(3)

则T至少有一个不动点。

证明设常数Q=1，定义映射T*为：

证明定义映射T*为:

[1]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义(上册)[M].北京：北京大学出版社，2006.

[2]熊金城.点集拓扑讲义[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2004.

[编辑] 洪云飞

O177.2

A

1673-1409(2013)25-0014-02

2013-06-16

熊骏(1968-)，男，硕士，副教授，现主要从事基础数学方面的教学与研究工作。