加窗分数时延滤波器精度比较

张锦中 张中山

中国电子科技集团公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088

引言

在很多数字信号处理应用中，对分数时延的需求越来越大。要实现固定的时延，数字信号处理技术比模拟技术更有优势，且实现起来很容易，只需把信号在缓存器里存指定的时间就可以了。如果期望的延迟时间是采样间隔的整数倍，这种方法是最优的；但是，当延迟值小于采样间隔，特别是希望时延连续可调时，就需要更加复杂的方法。在符号时序恢复[1]，精确波束形成与预测语音编码中，能过控制信号的采样时刻，可以使系统性能得到一定的提升。为了得到两个采样之间的数据，在原理上，多速率方法通过插值、延时、重抽取可以实现，但对于自适应时延估计的动态场合，它就不适合了。对于多速率系统，通过标准的数字滤波器做精确的插值是更好的方法。

人们对分数时延滤波器的研究兴趣主要集中在两个方面，一个是只做分数时延（通过FIR与IIR滤波器实现[2]），另一个是把分数时延与其它功能一起设计（分数时延微分器）。文献[3]对分数时延的研究进行了综述；强大的最优化算法可以获得极佳的分数时延，然而在实时数据通信领域，往往考虑采用较简单的时延算法（通常使阶数较少的FIR），简单的方法可以快速调整到不同的时延值。要得到滤波器系数，通常使用闭式表达式，尽管它们的次最优性能部分地抵消了它们的实现优势。本文的目的就是探讨加窗方法对简单分数时延滤波器的性能改善情况，特别是加Chebyshev窗时的时延精度进行了深入的研究。

1、分数间隔时延的FIR近似

首先，我们研究理想期望传输函数的近似方法。

其中f是归一化频率，且

对于N个系数的FIR滤波器，a等于(N-1)/2，与线性相位滤波器设计相同。另一个时延因子d平移了滤波器冲激响应的对称中心，且与传统意义上的线性相位设计不同。事实上，即使d选为[-a,a]之间的整数，由于系数长度限定为N，对称的系数丢弃一端的一些数据之后，系数也就不再对称了。我们只对这样的情况感兴趣，当d是[-0.5,0.5]之间的小数，此时，滤波器系数会出现稍微的不对称。

我们的任务就是设计一个z域传输函数H(z)使总的误差

达到可接受的程度。对于任意的，在零频，误差要求可以很容易达到，但在Nyquist频率处是不可能达到的。因此，我们只需关注95%带宽的近似程度。全频带的高保真近似也是无意义的。时延滤波器没有低通滤波器那样的截止频率。在研究过程中，我们只关注两个方面的分数时延精度：f=[0,0.5](即半带设计，占全频带的50%)与f=[0,0.9](即宽带设计，占全频带的90%)。

如果带限信号用离散时间信号表示，则固定时延可以用幅度与群时延分别为1与D的离散时间线性相位全通滤波器来近似。通过FOURIER变换，它的冲激响应可表示为

把式1代入式4得

此冲激响应形状与sinc函数相似，sinc函数定义为

2、加窗SINC分数延时器

截断SINC函数滤波器的性能太差，在实际中根本不能应用。降低Gibbs效应的常用方法就是进行时域加窗。加窗的滤波器冲激响应为：

其中，n是时间，取值范围是0到N-1，h(n)是与H(ej2πf)对应的冲激响应序列。

精度评价标准是：

其中，Dc某个频点的进延近似值，N是滤波器阶数，d是期望的时延值。

使用升余弦窗与Chebyshev窗前后的SINC滤波器的时延精度性能如图1所示：

从图中可看出von Hann窗(c=0.5)群时延特性要好于矩形窗，但CHebyshev窗的精度更好。图1 的仿真条件是d=0.1，滤波器长度是17。

图1 时延精度随频率的变化情况

图2 宽带时时延精度与滤波器阶数的关系

宽带时延精度与滤波器阶数的关系如图2所示，从图中可以看出，Hann与Chebeyshev在阶数为10左右时有一个拐点，当阶进一步增大时，加Hann窗的精度随数增大而减小；但加Chebeyshev窗时，精度并不是随阶数增大而减小，而是有一个最佳值，最佳值是65，相对Hann窗有40dB的好处；Chebeyshev窗的副瓣为-80dB。

半带时延精度与滤波器阶数的关系如图3所示，此时精度的低阶数拐点消失，加Chebeyshev窗的精度随阶数迅速提高，当阶数为13时，就达到了最佳点，相对Hann窗有40dB的好处，同样精度下Hann需要133阶。

图3 半带时时延精度与滤波器阶数的关系

时延精度与Chebeyshev窗主副比的关系如图4与图5所示，主副比越大，时延精度越高，主副比每增加20dB，时延精度也会提高20dB左右，但要达到最佳点，滤波器阶数也要相应增加。半带时，阶数小于20就可以达到很高的时延精度。

图4 宽带时延精度与Chebeyshev窗主副比的关系

图5 半带时延精度与Chebeyshev窗主副比的关系

3、结语

分数阶时延可以使用FIR滤波器来近似，加窗FIR滤波器是比较简单有效的设计方法。本文研究了加窗分数时延滤波器的时延精度，对加Chebyshev窗的时延精度进行了深入研究，加Chebyshev窗的时延精度与窗的主副比有关，主副比越大，时延精度越高，需要的滤波器阶数越高，并不是滤波器阶数越高，精度越高，而是主副比一定时，滤波器阶数有一个最佳值。

[1]Erup,L.,F.M.Gardner and R.A.Harris,"Interpolation in digital modems -Part II:implementation and performance",IEEE Trans.Comms.,vol.41,no.6,pp.998-1008,June 1993.

[2]Cain,G.D.,N.P.Murphy and A.Tarczynski,"Evaluation of several variable FIRfractional-sample delay filters",Proc.ICASSP94,Adelaide,Australia,vol.3,pp.621-624,19-22 April 1994.

[3]Timo I.LAAKSO,Splitting the unit delay !FIR all pass filters design,IEEE Signal processing magazine,January,1996.